【题解】P4454 [CQOI2018] 破解D-H协议

P4454 $CQOI2018$ 破解D-H协议 - 洛谷 (luogu.com.cn)

终于做到密码学相关的啦好开心！

正好复习一下 BSGS，学了这么多年的数论终于有用武之地！

这道题是板子，很简单，但我会拓展一些密码学、数论、群论相关内容，自行选读。

0.与解题无关

Diffie-Hellman（迪菲-赫尔曼密钥交换，简称 D-H）

是一种在不安全通信信道上，安全地交换加密密钥的密码学协议。

大致流程：

双方公开约定两个数字：一个大质数和一个底数（原根）。
Enigma 选一个秘密数（私钥），计算，把（公钥）发给 Ulrich。
Ulrich 选一个秘密数（私钥），计算，把（公钥）发给 Enigma。
Enigma 计算：
Ulrich 计算：

由于模幂运算的交换律，两者得出的 是完全相同的。

而外界黑客只知道，想要算出，就必须解决离散对数难题。

在现有计算机能力下，对大质数极其难解，这就是 D-H 的安全性基石。

概念解释：

原根（Primitive Root），也叫本原元。

定义：对于一个质数，如果存在一个整数。

使得的次方、次方、次方......一直到次方，

分别 后得到的余数，不重不漏地覆盖了到 之间的所有整数。

那么就是模的一个原根。

初等数论定义：

设整数与模数互质，

阶是指让成立的最小正整数 ，记作。

在以上基础上， 的阶等于欧拉函数 ，则称是模的原根。

写成公式：

其中表示小于等于且与互质的正整数个数。

另：当为质数，。

群论定义：

是模乘法群的生成元，即：

这表示的幂次能遍历所有与互质的余数集合。
模幂运算的交换律：

离散对数：

形如。

因为操作导致结果并非连续，而是在的余数域上不规律跳动。
现有计算机与 D-H 的安全性：

离散对数在数学结构上是一个没有逆向公式的单向函数，

且其破译时间复杂度随着数据变大而指数级增长。

但如果使用量子计算机，能在多项式时间内快速求解离散对数。

这也是为什么现在全球密码学界在大力推进**后量子密码学（PQC）**的原因。

1.题意解读

Diffie-Hellman 密钥交换过程中，公开的信息有：

固定公开 ：质数，原根
信道窃听得到 ：

要破解的是最终密钥：

已知，但不知道私密的随机数或。

破解思路 ：

只要算出其中一个私密数，比如，那么：

而就是以 为底、的离散对数：

所以，每组数据都是在解一个离散对数问题。

BSGS 就是专门用来求解中的算法。

它的时空复杂度都是。

本题数据范围：，用 BSGS 轻松过。

PS：本人还是认为题意很有意思，有真的在破译密码的感觉。

虽然只是 BSGS 板子，某种意义上还有隐私安全教育环节。

2.代码

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
map<LL, LL> mp;

// a ^ x  = b (mod p)
LL BSGS(LL a, LL b, LL p) {
	a %= p; b %= p;
	
	if (b == 1) {   // 特判 
		return 0;
	}	
	
	mp.clear();
	mp[b] = 0;   // 不走小步 
	LL m = ceil(sqrt(p));
	
	LL am = a;
	for (LL j = 1, t = b; j < m; j ++) {
		t = t * a % p;
		mp[t] = j;
		am = am * a % p;
	}
	
	for (LL i = 1, t = 1; i <= m; i ++) {
		t = t * am % p;
		if (mp.count(t)) {
			return i * m - mp[t];
		}
	}
	return -1;
}

LL g, P;

LL q_pow(LL a, LL b) {
	LL c = 1;
	while (b) {
		if (b & 1) {
			c = c * a % P;
		}
		a = a * a % P;
		b >>= 1;
	}
	return c;
}

int main () {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	
	cin >> g >> P;
	int n;
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		LL A, B;
		cin >> A >> B;
		LL a = BSGS(g, A, P);
		LL K = q_pow(B, a);
		cout << K << "\n";
	}
	
	return 0;
}