不是重心也不是中点：费马—韦伯点、它的最优性条件与迭代求解

不是重心也不是中点：费马---韦伯点、它的最优性条件与迭代求解

一个配送网络要选一个服务点，让服务点到六个需求点的加权距离之和最小，权重就是各点的订货量。直觉通常给出两个答案：把所有点按权重平均一下，得到「加权重心」；或者对横纵坐标分别取中位数。这两个答案都不对------不是差一点点，而是它们最小化的根本不是同一个函数。

下面用一个六点实例把这件事算清楚：三个候选点各自的目标值、迭代序列的每一步、一个会把最优解压到需求点上的权重配置，以及权重与坐标扰动下最优点会移动多远。全部数字都可以用同一段标准库代码复算。

一、把问题写成一句话：选一个点，让加权距离和最小

平面上有 n 个需求点，第 i 个点的坐标记作 p_i = (a_i, b_i)，权重 w_i > 0（订货量、人口、流量都行）。要选的是一个服务点 x = (x_1, x_2)，代价是它到各需求点的加权欧氏距离之和：

F(x) = Σ w_i · ‖x − p_i‖

这是无约束问题：x 可以落在平面上任何位置，包括与某个需求点重合。变量只有两个，目标函数却是非光滑的------这正是后面所有麻烦的来源。这个问题在文献里叫费马---韦伯问题，它的最优解也叫几何中位数，本文两个名字混用。

先说清两个假设，它们贯穿全文：

• 权重都是正数，距离用欧氏范数，代价与距离成正比（不考虑运价分段、容量上限与建站成本）；
• 需求点的位置与权重都当作已知常数，不处理位置本身有误差的情形（第十节回到这一点）。

本文的实例取六个点，其中 F 点又远又重，用来把加权重心与真正的最优解拉开距离：

点	坐标	权重
A	(0.0, 0.0)	1.0
B	(10.0, 0.0)	1.0
C	(0.0, 8.0)	1.0
D	(10.0, 8.0)	1.0
E	(4.0, 3.0)	2.0
F	(12.0, 12.0)	4.0

二、先排除两个直觉答案

加权重心是最小化加权平方距离 Σ w_i·‖x − p_i‖² 的解，可以直接写出公式：c = Σ w_i·p_i / Σ w_i。它是一阶矩，与距离的一次方没有关系。

逐坐标加权中位数是最小化加权直线距离 Σ w_i·(|x_1 − a_i| + |x_2 − b_i|) 的解。这个目标可以拆成横纵两个独立的一维问题，每个一维问题的最优解是加权中位数。它逐坐标取最优，因此也没有理由让欧氏距离和最小。

把实例的三条答案放在一起对照：

候选点	坐标	目标值 F
加权重心 c	(7.600000, 7.000000)	65.402201
逐坐标加权中位数 q	(10.000000, 8.000000)	64.315292
几何中位数 m*	(9.480363, 8.165316)	64.136355

三者的差距不大，但方向很清楚：重心离最优点 2.212176，坐标中位数离最优点 0.545300，而后者的目标值已经只比最优值高 0.178936。本例的坐标中位数恰好就是需求点 D------一个「看起来很像答案」的点，它却不是最优解（第五节给出判据）。

图 1 把三者的差别按判据、可微性、计算方式与失效条件四行摊开：重心有闭式解、处处可微，但它回答的是平方代价；坐标中位数把两维拆开、只对直线距离最优，而且当某个坐标上出现权重恰好对半时解可能不唯一；几何中位数要解一个不可微的凸问题，好处是任何局部最优就是全局最优。

图 2 是同一组数字的几何版本：六个需求点、加权重心、坐标中位数与几何中位数。F 点权重最大，所以最优点被拉向右上角，但并没有被拉到 F 点上。

三、目标函数的形状：凸性

F 是凸函数，论证分三步：

1. 欧氏范数 ‖·‖ 是凸函数；
2. 每个 p_i 固定时，x ↦ ‖x − p_i‖ 是凸函数与仿射映射的复合，仍然凸；
3. 非负权重下，Σ w_i·‖x − p_i‖ 是凸函数的非负组合，仍然凸。

凸性带来三个直接后果：任一局部极小点都是全局极小点；下水平集 {x : F(x) ≤ α} 是凸闭集；当 ‖x‖ 趋于无穷时 F 也趋于无穷（因为权重之和为正），所以最小值一定取到。

但 F 一般不是严格凸的：如果所有需求点共线，沿着这条线在某些区间上目标值可以持平，最优点就不唯一。实例中的六个点不共线，最优点唯一。

更要紧的是可微性。每一项 w_i·‖x − p_i‖ 在 x = p_i 处有一个尖角：从不同方向靠近 p_i 时，这一项的梯度趋向不同的单位向量。当 x 与所有需求点都不重合时，F 可微；一旦 x 落在某个需求点上，F 在该点不可微，梯度不存在。「梯度为零」这句话在那一点上直接失效------这是第五节的主题。

四、最优性条件：梯度为零等价于加权单位向量和为零

当 x 不是任何需求点时，逐项求导：

∇F(x) = Σ w_i · (x − p_i) / ‖x − p_i‖

把每一项写成 w_i·u_i(x)，其中 u_i(x) 是从 p_i 指向 x 的单位向量。由凸性，∇F(x) = 0 是该点全局最优的充要条件。

几何读法很直观：每个需求点沿「从自己指向 x」的方向拉，拉力大小等于它的权重；最优点就是这些拉力互相抵消的位置。权重越大、距离越近的点，方向上的话语权越大。

把上式移项，还能读出一个不动点形式：

x · Σ (w_i / d_i) = Σ (w_i / d_i) · p_i,  其中 d_i = ‖x − p_i‖

也就是说，最优点必须等于「以距离倒数为权重」对全部需求点做的加权平均。第六节的迭代格式正是从这个式子抄下来的。

有一处容易误用：梯度范数是最优性的一阶残差，但它的大小不能用来比较两个候选点的目标值高低。实例里加权重心处的梯度范数是 0.920322，坐标中位数处是 1.669920------后者更大，可它的目标值更低。真正的最优点处，梯度范数降到 2.25e-14。

五、奇异情形：最优解落在需求点上

设 x 取在需求点 p_k 上。此时第 k 项的次梯度是整个闭单位球（乘以权重），其余项仍然是固定的单位向量：

∂F(p_k) = w_k · B̄ + Σ_{j≠k} w_j · u_jk

其中 B̄ 是闭单位球，u_jk 是从 p_j 指向 p_k 的单位向量。由凸性，0 ∈ ∂F(p_k) 是 p_k 为全局最优的充要条件。把式子整理一下，它等价于一个只用向量长度就能检查的判据：

‖Σ_{j≠k} w_j · u_jk‖ ≤ w_k

左边是其余所有需求点对 p_k 的合拉力，右边是这个点自身的权重。直觉是：如果别的点合起来也拉不动它，那么最优解就停在这个需求点上。

实例在一般权重（F 点权重 4）下的判据余量是：

点	坐标	权重	判据余量	该点目标值
A	(0.0, 0.0)	1.0	7.397211	108.688499
B	(10.0, 0.0)	1.0	6.090332	92.884757
C	(0.0, 8.0)	1.0	6.090329	94.208940
D	(10.0, 8.0)	1.0	0.669920	64.315292
E	(4.0, 3.0)	2.0	2.438059	74.087956
F	(12.0, 12.0)	4.0	1.681824	70.340524

六个余量全部为正，因此最优解严格落在需求点之外；最接近「被选中」的是 D 点，余量只有 0.669920。注意 D 点正是上一节的坐标中位数：它离最优解很近，但仍不满足判据。

现在把 F 点的权重从 4 往上提。其余五个点对 F 的合拉力范数是 5.681824，于是：

F 点权重	判据余量	判定
4.0	+1.681824	不是最优
5.0	+0.681824	不是最优
6.0	-0.318176	F 点就是最优解，最优值 70.340524

阈值可以精确写出：只要 F 点权重大于 5.681824（权重乘子 1.420456），最优解就整体落到 F 点上，此时最小值等于 F 点本身的目标值。这是一个「最优解不可微」的实例：目标函数在最优点的梯度不存在，任何「跑到梯度为零」的实现都会在这一点上卡住或算错。

图 3 把这一族的等高线（以最优值为基准的 1.03、1.12、1.30 倍）与从加权重心出发的迭代轨迹叠在同一张坐标图上：轨迹的每一步都落在更靠内的位置上。

六、从梯度条件到不动点：Weiszfeld 迭代

把第四节的梯度条件解出来。设 d_i = ‖x − p_i‖：

Σ w_i·(x − p_i)/d_i = 0
⟺ x · Σ (w_i/d_i) = Σ (w_i/d_i)·p_i
⟺ x = [ Σ (w_i/d_i)·p_i ] / [ Σ (w_i/d_i) ]

把等号两边看成「用当前点算权重、再算新点」，就得到迭代格式：给定当前点 x_t（不是需求点），

x_(t+1) = [ Σ (w_i / ‖x_t − p_i‖)·p_i ] / [ Σ (w_i / ‖x_t − p_i‖) ]

三个性质值得记住：

• 它是对全部需求点的加权平均，权重是距离的倒数------离得近的点权重大；
• 当 x_t 靠近某个需求点时，这一项的倒数权重趋于无穷，平均值被它主导，于是新点离它很近：步长自动变小；
• 反过来，这也解释了为什么迭代在最优解附近会越走越慢------减速与「安全」是同一件事的两面。

这条迭代形式在 1960 年代被独立重发现，并用于广义韦伯问题的数值求解（4）。

它为什么每一步都不增目标值。 对每个需求点用一次 a²/(2b) + b/2 ≥ a（b > 0 时成立，等号当且仅当 a = b），令 a = ‖x − p_i‖、b = d_i(x_t)，得到代理函数：

G(x; x_t) = Σ w_i · ( ‖x − p_i‖² / (2·d_i(x_t)) + d_i(x_t)/2 ) ≥ F(x)

并且 x = x_t 时每一项都取等号，所以 G(x_t; x_t) = F(x_t)。G 关于 x 是二次函数，二次项系数为 Σ w_i/(2·d_i(x_t)) > 0，因此有唯一最小点；对 G 求梯度并令其为零，解出来的正是上面的迭代式。于是：

F(x_(t+1)) ≤ G(x_(t+1); x_t) ≤ G(x_t; x_t) = F(x_t)

只要 x_(t+1) ≠ x_t，第二个不等号就是严格的，目标值严格下降；迭代停在不动点时，梯度条件已经满足。这就是「单调下降」的证明骨架：把难解的 F 换成容易解的 G，每一步都解到底。

这个不等式可以直接用程序核对：在实例上抽样 3600 个点，F(x) − G(x; x_0) 的最大值是 -0.007363，处处不大于零；在 x_0 处该差值恰好为 0.0。

下面是一段概念性伪代码，把「先判据、再迭代」的顺序固定下来（不是任何论文算法框的复现）：

概念性伪代码：带数据点判据的 Weiszfeld 迭代

Input : 需求点 p_1..p_n 与权重 w_1..w_n；起点 x；步长阈值 ε；步数上限 T
Output: 近似最优点 x 与停止原因

1  令 t = 0
2  重复以下步骤，直到停止：
3      若 x 与某个需求点 p_k 的距离为 0：
4          计算判据余量 g = ‖Σ_(j≠k) w_j·u_jk‖ − w_k
5          若 g ≤ 0：停止，返回「x 就是最优解」
6          否则：用剔掉第 k 项后的倒数加权平均更新 x，记下这次逃逸，进入下一轮
7      否则：
8          用全部需求点的倒数加权平均算出候选点 x'
9          若 ‖x' − x‖ ≤ ε·max(1, ‖x‖)：停止，返回「步长足够小」
10         否则：令 x = x'，t = t + 1
11 返回 x 与停止原因

七、倒数权重发散时怎么办

迭代式里有一项是 w_k / ‖x_t − p_k‖。只要迭代点恰好落在需求点 p_k 上，这一项就是无穷大，公式没有定义。这不是罕见情形：第五节已经构造出最优解就在需求点上的例子，而且迭代过程中也可能偶然踩上去。

正确的处理顺序只有一条：先判定，再决定去留。

• 判据余量小于等于零：这个点就是最优解，直接停。实例中把 F 点权重取 6，从 F 点出发，第 0 步就由判据终止（返回「停在需求点 F」），不需要任何迭代。
• 判据余量大于零：这个点不是最优解，必须离开。常用的做法是剔除奇异项，只用其余需求点做倒数加权平均，走出一步。

需要特别记住的是：剔除奇异项的那一步不保证下降。把 F 点权重取 5（判据余量 +0.681824，不是最优），仍从 F 点出发，第一步会跳到 (6.103542, 4.787145)，目标值从 70.340524 升到 77.979062。原因是其余五个点的倒数加权平均离 F 点很远，这一步相当于把点从「偏远重的需求点」拉回需求簇中心附近。此后目标值恢复单调下降，124 次更新后到达 (9.767942, 8.763811)，目标值 68.450865。

三个实现层面的结论：

• 不要用「步长是否足够小」代替数据点判据------最优解落在需求点上时，迭代可能一直在附近打转；
• 逃逸步之后要重新开始检查下降性，不能假设目标值序列处处单调；
• 判据本身很便宜：一次 O(n) 的向量求和，远比多跑几百步便宜。

八、收敛速度：一般情形与奇异情形的差别

同一套迭代在两个实例上的表现差别很大。记相对间隙为 (F(x_t) − F*)/F*（一般情形用高精度收敛值作参照，奇异情形的最优值可以精确写成 F 点的目标值）：

相对间隙阈值	一般实例所需步数	奇异实例所需步数
1e-3	6	51
1e-6	15	177
1e-9	24	303

实测的相邻间隙比：一般情形在第 6 步约为 0.481，在第 15 步约为 0.458，即每步把间隙乘上一个明显小于 1 的因子；奇异情形分别是 0.945 与 0.947，几乎贴着 1，于是达到同样的 1e-6 要多花一个数量级以上的步数。

机制解释与第五节直接相连：最优解落在需求点上时，目标函数在最优点不可微，迭代格式在那里没有一个「光滑的」局部模型，收敛自然退化。反过来说，本例中当最优点不在需求点上时，迭代在最优解附近表现为稳定的压缩：间隙比约 0.46。

图 4 把两条间隙曲线画在同一张对数纵轴上：一条很快折下去，另一条几乎是直线地缓慢下降。

关于收敛性的完整分析，可以回到专门讨论这个迭代的文献 2（该文是订阅内容，这里只登记题录，不转述其定理）。如果把距离换成 l_p 距离的 K 次幂，迭代仍有对应的形式，但收敛证明要在对 p 与 K 的某些限制下、针对原问题的 ε 近似给出（3 的摘要）。想要更快时，常用的两条路线是用二阶信息做牛顿型加速，或者在维数较高时改写成二阶锥规划/半定松弛求解。

九、完整算例：逐步数字与敏感性对照

一般实例的迭代轨迹（起点取加权重心 (7.600000, 7.000000)）：

步 t	x_1	x_2	F(x_t)	相对间隙
0	7.600000	7.000000	65.402201	1.974e-02
1	8.079864	7.237269	64.955272	1.277e-02
2	8.409364	7.499185	64.654986	8.086e-03
3	8.671656	7.711741	64.449363	4.880e-03
4	8.883096	7.870984	64.314602	2.779e-03
5	9.049905	7.983529	64.231718	1.487e-03
6	9.177205	8.058333	64.184457	7.500e-04
7	9.270841	8.105008	64.159492	3.607e-04
8	9.337430	8.132465	64.147136	1.681e-04

第一轮迭代可以手算核对：六个点的距离倒数权重分别是 0.096782, 0.135135, 0.130455, 0.384615, 0.371647, 0.600571，分母是 1.7192051697，分子是 (13.8909432525, 12.4423501593)，相除得到 (8.0798635890, 7.2372689304)，与表里的第 1 步逐位一致。

最小可运行示例。 下面这段纯标准库代码把上面的过程完整跑一遍：先解到步长足够小得到参照值，再打印前 9 步的坐标、目标值与相对间隙，接着打印六个需求点的判据余量、F 点权重取 5 与 6 时的判定，以及阈值下方那次逃逸之后的收敛结果。把它存成 .py 文件直接运行即可，改 P 与 W 就能换一组数据。

# 最小可运行示例（纯标准库）：六点带权实例的迭代、判据与停止条件
import math

P = [(0.0, 0.0), (10.0, 0.0), (0.0, 8.0), (10.0, 8.0), (4.0, 3.0), (12.0, 12.0)]
W = [1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 2.0, 4.0]
NAME = "ABCDEF"

def dist(a, b):
    return math.hypot(a[0] - b[0], a[1] - b[1])

def total(x, pts=P, w=W):
    return sum(wi * dist(x, p) for wi, p in zip(w, pts))

def centroid(pts=P, w=W):
    s = sum(w)
    return (sum(wi * p[0] for wi, p in zip(w, pts)) / s,
            sum(wi * p[1] for wi, p in zip(w, pts)) / s)

def index_at(x, pts=P, tol=1e-12):
    for i, p in enumerate(pts):
        if dist(x, p) <= tol:
            return i
    return None

def margin(k, pts=P, w=W):
    """需求点 p_k 处次梯度集合含零的余量：不大于零表示该点就是最优解。"""
    pk = pts[k]
    sx = sy = 0.0
    for j, p in enumerate(pts):
        if j == k:
            continue
        d = dist(pk, p)
        sx += w[j] * (pk[0] - p[0]) / d
        sy += w[j] * (pk[1] - p[1]) / d
    return math.hypot(sx, sy) - w[k]

def average(x, pts=P, w=W, skip=None):
    """倒数加权平均；skip 给出时要剔除的那一项（它对应的距离为零）。"""
    nx = ny = den = 0.0
    for j, p in enumerate(pts):
        if j == skip:
            continue
        wj = w[j] / dist(x, p)
        nx += wj * p[0]
        ny += wj * p[1]
        den += wj
    return (nx / den, ny / den)

def advance(x, pts=P, w=W):
    k = index_at(x, pts)
    if k is None:
        return average(x, pts, w), "step"
    if margin(k, pts, w) <= 0:
        return x, "stop_at_%s" % NAME[k]
    return average(x, pts, w, skip=k), "escape_from_%s" % NAME[k]

def solve(x, pts=P, w=W, tol=1e-15, limit=400):
    updates = 0
    for _ in range(limit):
        nxt, event = advance(x, pts, w)
        if event.startswith("stop_at"):
            return x, updates, event
        updates += 1
        if dist(nxt, x) <= tol * max(1.0, dist((0.0, 0.0), x)):
            return nxt, updates, "small_step"
        x = nxt
    return x, updates, "limit"

x0 = centroid()
xstar, used, why = solve(x0)
fstar = total(xstar)
print("加权重心 (%.6f, %.6f)   F = %.6f" % (x0[0], x0[1], total(x0)))
print("最优点   (%.6f, %.6f)   F = %.6f   %d 次更新，停止原因 %s"
      % (xstar[0], xstar[1], fstar, used, why))

x = x0
for t in range(1, 10):
    nxt = average(x)
    print("第 %d 步 (%.6f, %.6f)   F = %.6f   相对间隙 %.3e"
          % (t, nxt[0], nxt[1], total(nxt), (total(nxt) - fstar) / fstar))
    x = nxt

print("判据余量 " + "  ".join("%s=%+.6f" % (NAME[i], margin(i)) for i in range(6)))
for wf in (5.0, 6.0):
    ws = W[:5] + [wf]
    print("F 点权重 %.1f：判据余量 %+.6f；从 F 点出发 -> %s"
          % (wf, margin(5, P, ws), solve(P[5], P, ws)[2]))
w5 = W[:5] + [5.0]
xb, ub, _ = solve(P[5], P, w5)
print("权重 5 时逃逸后 %d 次更新到 (%.6f, %.6f)   F = %.6f" % (ub, xb[0], xb[1], total(xb, P, w5)))

运行后打印的前 9 步与上表逐位一致；这段示例是简化版：完整的实验脚本还会输出等高线、对数间隙曲线与敏感性对照，正文用到的每一个数字都能在它里面找到对应行。

权重敏感性。 以 F 点权重 4 为基准，把它乘以不同的倍数，重新求解最优点（位移以「基准加权重心到基准最优点的距离」2.212176 为 100%，代价是沿用基准最优点时的目标值相对上升）：

权重乘子	F 点权重	新的最优点	位移	沿用基准最优点的代价
0.25	1.000	4.000000	3.000000	340.431%
0.50	2.000	4.937585	4.035794	277.519%
0.75	3.000	7.459879	6.510302	118.064%
1.00	4.000	9.480363	8.165316	0.000%
1.25	5.000	9.767942	8.763811	30.016%
1.40	5.600	11.230019	11.039076	152.090%
1.45	5.800	12.000000	12.000000	207.415%
2.00	8.000	12.000000	12.000000	207.415%
3.00	12.000	12.000000	12.000000	207.415%

两段行为可以清楚分开：乘子在 1 附近时位移平滑增长；跨过 1.420456 之后最优解整体落到 F 点上，位移跳到 207.415% 并保持不变，而代价继续随权重上升。换句话说，位置对权重是连续的小变化加一次跳变，跳变的原因正是第五节的判据被满足。乘子小于 0.5 时最优解甚至会落到 E 点上（0.25 倍时位移 340.431%、代价 32.684%），说明权重太小的一侧同样会出现「最优点落在需求点上」。

坐标敏感性。 把 F 点沿对角线移动 δ（正数表示向外）：

δ	新的最优点	位移	沿用基准最优点的代价
-2.0	8.999496	8.300669	22.582%
-1.0	9.264802	8.228218	10.151%
-0.5	9.377892	8.195657	4.831%
+0.0	9.480363	8.165316	0.000%
+0.5	9.573634	8.137023	4.406%
+1.0	9.658882	8.110614	8.440%
+2.0	9.809105	8.062847	15.566%

坐标扰动的效果比权重温和得多：移动两个单位，位移约 15.566%，沿用旧最优点的代价还不到 0.068%。这与权重扰动的差别来自判据：坐标变化改变的是拉力方向，权重变化直接改变判据两边的量级。

图 5 把位移与代价两条曲线画在一起，跳变出现的位置正是判据被满足的那个权重。

这两组数字只说明这个实例的行为，不外推到一般情形；换一组坐标或权重，跳变阈值会变，平滑段的斜率也会变。

十、停止判据与模型的边界

一个可计算的停止判据。 除了「步长足够小」和「判据余量」，还可以用对偶下界回答「当前值离最优值还有多远」。对偶问题把每个需求点配一个向量 y_i，要求 ‖y_i‖ ≤ w_i 且 Σ y_i = 0，此时对任意常数向量 c，Σ y_i·(c − p_i) 都是最优值的下界。用当前点构造一组可行的 y_i，就得到「当前值 − 下界」这个可计算的量：实例中最优点处下界与目标值只差 1.42e-13，第 6 步时下界与当前值相差 1.638776（相对 2.555%），第 15 步时相差 0.067738（相对 0.106%）。它给的是「还差多少」的上界估计，不能替代最优性判据。

距离函数的选择。 全文用的是欧氏距离。如果把距离换成直线距离，目标函数拆成两个一维问题，逐坐标中位数就从「近似答案」变成「准确答案」；换成 l_p 距离的 K 次幂，迭代有对应形式，但要额外的参数条件（3）。距离函数不是实现细节，它决定答案是谁。

需求点位置与权重的不确定性。 本文把坐标与权重当常数，第九节的对照说明这个假设值多少钱：权重跨过阈值时最优解会整体跳到某个需求点上，这种跳变不会出现在线性灵敏度分析里。需求点位置有误差时，通常的做法是把不确定性写进模型（鲁棒或随机版本），而不是对最优点做一次线性外推。

规模与实现。 需求点很多时，每次迭代是 O(n) 的向量运算；迭代次数在本例的良态情形下与精度要求的位数大致成正比（24 步到 1e-9），但在最优解落在需求点上的情形会明显变慢（本例 303 步）。真正需要在实现里守住的是三件事：显式检查候选数据点、用判据而不是步长判定奇异情形、以及给收敛判据留一个与数据点检查并联的分支。

参考文献

1 E. Weiszfeld, Frank Plastria. On the point for which the sum of the distances to n given points is minimum. Annals of Operations Research, 2008, 167(1): 7-41. DOI: 10.1007/s10479-008-0352-z

2 Lázaro Cánovas, Roberto Cañavate, Alfredo Marín. On the convergence of the Weiszfeld algorithm. Mathematical Programming, 2002, 93(2): 327-330. DOI: 10.1007/s101070200297

3 James G. Morris. Convergence of the Weiszfeld Algorithm for Weber Problems Using a Generalized "Distance" Function. Operations Research, 1981, 29(1): 37-48. DOI: 10.1287/opre.29.1.37

4 Harold W. Kuhn, Robert E. Kuenne. AN EFFICIENT ALGORITHM FOR THE NUMERICAL SOLUTION OF THE GENERALIZED WEBER PROBLEM IN SPATIAL ECONOMICS. Journal of Regional Science, 1962, 4(2): 21-33. DOI: 10.1111/j.1467-9787.1962.tb00902.x