【二分查找-2】34.在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

题目描述：

给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。

你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出：[3,4]

示例 2：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出：[-1,-1]

示例 3：

输入：nums = [], target = 0
输出：[-1,-1]

解题思路：

方法：二分查找

核心思路：

• 左边界：第一个等于 target 的位置

• 右边界：最后一个等于 target 的位置

可以分别用两次二分查找：

1. 找左边界 ：用二分查找，找第一个 >= target 的位置

2. 找右边界 ：用二分查找，找第一个 > target 的位置，再减1

具体过程示例：

nums = [5, 7, 7, 8, 8, 10], target = 8

找左边界（第一个 >= 8）:
left=0, right=5, mid=2, nums[2]=7 < 8 → left=3
left=3, right=5, mid=4, nums[4]=8 >= 8 → right=3
left=3, right=3, mid=3, nums[3]=8 >= 8 → right=2
left=3 > right=2，结束，左边界 = left = 3 ✅

找右边界（第一个 > 8）:
left=0, right=5, mid=2, nums[2]=7 <= 8 → left=3
left=3, right=5, mid=4, nums[4]=8 <= 8 → left=5
left=5, right=5, mid=5, nums[5]=10 > 8 → right=4
left=5 > right=4，结束，右边界 = left - 1 = 4 ✅

代码实现：

class Solution {
public:
    vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {
        int left = lowerBound(nums, target);
        int right = upperBound(nums, target) - 1;
        
        // 检查是否找到
        if (left <= right && right < nums.size() && nums[left] == target) {
            return {left, right};
        }
        return {-1, -1};
    }
    
private:
    // 找第一个 >= target 的位置
    int lowerBound(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0, right = nums.size();
        while (left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (nums[mid] < target) {
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid;
            }
        }
        return left;
    }
    
    // 找第一个 > target 的位置
    int upperBound(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0, right = nums.size();
        while (left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (nums[mid] <= target) {
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid;
            }
        }
        return left;
    }
};

更简洁的写法（用 STL）：

class Solution {
public:
    vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {
        auto left = lower_bound(nums.begin(), nums.end(), target);
        auto right = upper_bound(nums.begin(), nums.end(), target);
        
        if (left == nums.end() || *left != target) {
            return {-1, -1};
        }
        
        return {(int)(left - nums.begin()), (int)(right - nums.begin() - 1)};
    }
};

复杂度分析：

维度	复杂度	说明
时间复杂度	O(log n)	两次二分查找
空间复杂度	O(1)	只用常数个变量

关键细节：

1. 为什么用 left < right 而不是 left <= right？

这是左闭右开区间的二分模板：

int left = 0, right = nums.size();  // 注意 right 是 size，不是 size-1
while (left < right) {
    int mid = left + (right - left) / 2;
    if (nums[mid] < target) left = mid + 1;
    else right = mid;
}
return left;

• right 初始为 size，表示开区间

• 循环结束时 left == right，就是答案

2. 为什么 upperBound 返回 left 后要减1？

upperBound 返回的是第一个 > target 的位置 ，所以右边界是 upperBound - 1。

3. 如何判断是否找到？

if (left <= right && right < nums.size() && nums[left] == target)

• left <= right：确保区间有效

• right < nums.size()：确保不越界

• nums[left] == target：确保真的找到了

4. 和「搜索旋转排序数组」的区别

题目	区别
33. 搜索旋转排序数组	旋转数组，找 target
34. 查找第一个和最后一个位置	有序数组，找 target 的边界

总结：

要点	说明
核心思想	两次二分查找：找左边界和右边界
左边界	第一个 >= target 的位置
右边界	第一个 > target 的位置减1
时间复杂度	O(log n)
空间复杂度	O(1)