下面我们来讲解这份 2026年9月 CCF-GESP C++ 一级 第三部分编程题第2题------《棋盘上的奖赏》。
这道题表面上是在讲一个古老的"国王赏麦子"的故事，实际上是在考同学们一个非常重要的编程思想：
前一个数字是后一个数字的"爸爸"------每次都变成前一个的2倍。
所以这道题的核心就是：
循环 + 每次乘2 + 累加。
题目给出的样例是：输入 3，输出 7；输入 10，输出 1023。
一、先来听听"麦粒王国"的故事 🌾👑
很久以前，古印度有一位国王。
有一位聪明的大臣叫西萨，他发明了国际象棋。
国王非常高兴：
"你想要什么奖励？尽管说！"
西萨说：
"我不要金银财宝，只要一些麦子。"
国王一听：
"麦子？这也太简单了！"
于是西萨提出了一个非常特别的要求：
-
棋盘第1格放 1粒
-
第2格放 2粒
-
第3格放 4粒
-
第4格放 8粒
-
......
也就是说：
每一格都是前一格的2倍。
题目问：
前 N 格一共需要多少粒麦子？
这就是本题。
二、先别急着写代码，我们把棋盘摆出来
假设：
N = 5那么棋盘前5格是：
第1格：1
第2格：2
第3格：4
第4格：8
第5格：16我们把它画成：
🌾 第1格：1
🌾🌾 第2格：2
🌾🌾🌾🌾 第3格：4
🌾🌾🌾🌾🌾🌾🌾🌾 第4格：8
🌾🌾🌾🌾🌾🌾🌾🌾🌾🌾🌾🌾🌾🌾🌾🌾 第5格：16那么总数就是：
1 + 2 + 4 + 8 + 16算一算：
1 + 2 = 3
3 + 4 = 7
7 + 8 = 15
15 + 16 = 31所以：
前5格 = 31粒三、这道题最重要的两个变量
我们不要一上来就写一大堆代码。
先问自己：
程序运行的时候，我到底需要记住什么？
答案只有两个：
① f
表示：
当前这一格应该放多少粒麦子。
② ans
表示：
前面所有格子加起来，一共有多少粒麦子。
可以想象成两个小盒子：
┌──────────────┐
│ f │
│ 当前这一格 │
└──────────────┘
┌──────────────┐
│ ans │
│ 总麦子数量 │
└──────────────┘四、f一开始应该是多少？
第一格放多少？
题目说：
第1格放1粒。
所以：
f = 1;非常重要！
五、ans一开始应该是多少？
刚开始我们一粒麦子都没有加进去。
所以：
ans = 0;于是程序刚开始：
f = 1
ans = 0可以画成：
当前麦子 f：🌾
总麦子 ans：0六、然后开始一个一个格子处理
假设：
N = 5我们需要处理：
第1格
第2格
第3格
第4格
第5格所以最自然的代码就是：
for (int i = 1; i <= n; i++)翻译成人话：
从第1格开始，一直处理到第N格。
七、第一轮：第1格
现在：
f = 1
ans = 0第1格放：
1所以：
ans += f;相当于：
ans = ans + f;于是：
ans = 0 + 1
= 1然后准备进入下一格。
因为下一格是当前格的2倍：
f *= 2;也就是：
f = f * 2;于是：
f = 1 × 2
= 2现在：
当前格：2
总数量：1八、第二轮：第2格
现在：
f = 2
ans = 1把当前麦子加入总数：
ans = 1 + 2
= 3然后：
f = 2 × 2
= 4现在：
当前格：4
总数量：3九、第三轮：第3格
现在：
f = 4
ans = 3加入：
ans = 3 + 4
= 7然后：
f = 4 × 2
= 8十、第四轮：第4格
现在：
f = 8
ans = 7加入：
ans = 7 + 8
= 15然后：
f = 8 × 2
= 16十一、第五轮：第5格
现在：
f = 16
ans = 15加入：
ans = 15 + 16
= 31然后：
f = 16 × 2
= 32循环结束。
最终：
ans = 31所以答案：
31十二、用表格把整个过程看清楚
这张表特别重要，小朋友考试的时候甚至可以在草稿纸上画出来。
| 棋盘格 | 当前麦子 f |
加入后 ans |
下一格 f |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 2 |
| 2 | 2 | 3 | 4 |
| 3 | 4 | 7 | 8 |
| 4 | 8 | 15 | 16 |
| 5 | 16 | 31 | 32 |
你会发现一个非常漂亮的规律：
f：
1 → 2 → 4 → 8 → 16 → 32每次：
×2
而：
ans：
0 → 1 → 3 → 7 → 15 → 31每次：
把当前的
f加进去。
十三、所以代码就出来了
参考程序：
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n;
long long f, ans;
int main() {
scanf("%d", &n);
f = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
ans += f;
f *= 2;
}
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}十四、我们把程序变成"小学生语言"
第1行
int n;准备一个盒子：
n------棋盘有多少格。
第2行
long long f, ans;准备两个"大盒子"：
f → 当前格子的麦子
ans → 所有格子的麦子总数这里特别值得注意：
为什么不用
int，而使用long long？
因为麦子增长得太快了！
十五、为什么麦子数量会"爆炸式增长"？ 🚀
看看：
第1格：1
第2格：2
第3格：4
第4格：8
第5格：16
第6格：32
第7格：64
第8格：128
第9格：256
第10格：512看起来前面还挺正常。
但是继续：
第20格：524288再往后：
第30格：536870912再继续：
第40格：549755813888是不是越来越夸张？
这就是：
每次 ×2 的可怕威力。
十六、int可能装不下怎么办？
普通 int 能表示的整数范围是有限的。
而这道题的麦子增长得特别快。
所以参考程序选择：
long long可以理解成：
🧰 一个比
int大得多的数字仓库。
所以：
long long f, ans;就是为了让程序能够存放更大的麦子数量。
十七、第二个样例：N = 10
题目样例：
输入：
10输出：
1023我们自己算一下：
1
2
4
8
16
32
64
128
256
512全部加起来：
1 + 2 + 4 + 8 + 16
+ 32 + 64 + 128 + 256 + 512结果：
1023所以：
前10格 = 1023粒十八、这里其实藏着一个数学规律
小朋友如果学过一些数学，会发现：
1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 4 = 7
1 + 2 + 4 + 8 = 15
1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31答案分别是：
1
3
7
15
31它们还有一个非常漂亮的规律：
1 = 2¹ - 1
3 = 2² - 1
7 = 2³ - 1
15 = 2⁴ - 1
31 = 2⁵ - 1所以：
⭐ 前 N 格的麦子总数 = 2^N - 1
例如：
N = 10
2¹⁰ - 1
= 1024 - 1
= 1023十九、那为什么我们不直接写 2^N - 1？
这是一个非常好的问题！
因为对于初学 C++ 的小朋友来说，这道题真正的考点是：
循环。
题目希望我们学会：
for以及：
f *= 2;
ans += f;所以不要为了追求"公式"，反而忘记了这道题的编程训练目标。
而且在 C++ 中：
2 ^ n不是数学里的 2ⁿ！
这里的 ^ 是：
按位异或运算。
所以千万不能直接写：
2 ^ n - 1来表示 2^n-1。
这是初学者非常容易踩的坑。
二十、这道题最核心的两句话
如果孩子考试时紧张，记住下面两句话就够了：
🌾 第一格麦子是1，所以
f = 1。
🌾 每处理完一格，就把当前麦子加进ans，然后让f乘2。
也就是：
ans += f;
f *= 2;这两行是整道题的"心脏"。
二十一、完整程序逐行讲解版
#include <cstdio>
using namespace std;
int n;
long long f, ans;
int main() {
// 输入棋盘格数
scanf("%d", &n);
// 第1格有1粒麦子
f = 1;
// 从第1格一直处理到第n格
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 把当前格子的麦子加入总数
ans += f;
// 下一格是这一格的2倍
f *= 2;
}
// 输出总麦子数
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}二十二、这道题的"程序思维图"
把整个程序压缩成一张图：
输入 N
↓
第1格有1粒麦子
↓
f = 1
ans = 0
↓
┌──────────────┐
│ 处理当前格子 │
└──────┬───────┘
↓
ans += f
↓
f *= 2
↓
还有下一格吗？
↙ ↘
有 没有
↓ ↓
继续 输出ans这其实就是一种非常重要的编程模型：
"当前状态 → 加入答案 → 更新状态 → 继续下一轮。"
以后学习很多算法，都会反复看到这种思想。
二十三、孩子最容易犯的5个错误
❌ 错误1：f从0开始
错误：
f = 0;如果这样：
0 → 0 → 0 → 0 → 0永远都是0。
正确：
f = 1;因为第一格就是1粒。
❌ 错误2：忘记 f *= 2
如果写成：
ans += f;却忘记：
f *= 2;那么每一格都是1粒：
1 + 1 + 1 + 1 + ...显然不对。
❌ 错误3：先乘2再加
如果写成：
f *= 2;
ans += f;第一格就变成：
2但题目第一格明明是：
1所以顺序不能乱。
正确顺序：
ans += f;
f *= 2;记住：
先把这一格收进仓库，再准备下一格。
❌ 错误4：ans没有初始化
虽然在这份参考程序中：
long long f, ans;随后直接：
ans += f;但这里有一个 C++ 初学者必须特别注意的知识点：
局部变量如果没有初始化，里面可能是一个未知值。
因此更稳妥、也更适合初学者理解的写法是：
long long f = 1;
long long ans = 0;这样我们就明确知道：
当前麦子 = 1
总麦子 = 0❌ 错误5：输出格式写错
因为：
ans是：
long long所以使用 printf 时：
printf("%lld", ans);而不是：
printf("%d", ans);可以记住：
int → %d
long long → %lld二十四、这道题其实是一个"指数增长"启蒙题 🚀
这道题特别有意思的地方在于：
每次只乘2，看起来很慢；可是连续乘很多次，数字会疯狂增长。
比如：
1
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
2048
4096
...这也是计算机科学中非常重要的一种增长方式：
指数增长。
所以这道题表面是：
👑 国王给麦子。
实际上是在告诉孩子：
"有些数字虽然开始很小，但如果不断翻倍，很快就会变得巨大。"
二十五、最后给孩子一个"麦粒口诀" 🌾
这道题可以用一句口诀牢牢记住：
第一格，1粒粮；
放进去，再翻倍；
每一格，都累加；
最后得到总麦量。
代码就是：
long long f = 1;
long long ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
ans += f;
f *= 2;
}
cout << ans;🎯 最后总结：这道题到底考什么？
| 知识点 | 在题目中的作用 |
|---|---|
int n |
保存棋盘格数 |
long long |
保存很大的麦子数量 |
for |
一格一格处理棋盘 |
f = 1 |
第一格有1粒 |
ans = 0 |
一开始总数为0 |
ans += f |
把当前格麦子加入总数 |
f *= 2 |
下一格是当前格2倍 |
printf("%lld") |
输出long long |
这道题最值得孩子掌握的并不是"棋盘麦子"这个故事，而是一个非常通用的累加器模型：
用一个变量记录"当前值"，用另一个变量记录"累计答案"，每循环一次更新当前值，再累计到答案中。