群在集合上的作用（Group Action）是抽象代数中最核心、最强大的工具之一。
如果说群 本身是对"对称性"的抽象描述，那么群作用就是让这个抽象的群"动起来"，去作用在一个具体的几何图形、代数结构或集合上，从而研究该集合的内部结构与对称性质。
前面讨论的凯莱定理 （群作用在自身上）和二面体群（二面体群作用在多边形顶点上），本质上都是群作用的具体表现。
1. 严格定义
设 (G,⋅)(G, \cdot)(G,⋅) 是一个群，XXX 是一个非空集合。
一个（左）群作用是一个乘法运算 ∗*∗：G×X→XG \times X \to XG×X→X
满足以下两个条件：
- 单位元不动 ：对任意 x∈Xx \in Xx∈X，有 e⋅x=xe \cdot x = xe⋅x=x（其中 eee 是群 GGG 的单位元）。
- 结合律/复合兼容性 ：对任意 g,h∈Gg, h \in Gg,h∈G 及 x∈Xx \in Xx∈X，有：
g⋅(h⋅x)=(gh)⋅xg \cdot (h \cdot x) = (gh) \cdot xg⋅(h⋅x)=(gh)⋅x
观点转换（映射视角）：
给定一个群作用，对每个固定的 g∈Gg \in Gg∈G，映射 σg:X→X\sigma_g: X \to Xσg:X→X（定义为 σg(x)=g⋅x\sigma_g(x) = g \cdot xσg(x)=g⋅x）都是集合 XXX 上的一个双射（置换） 。
因此，一个群作用等价于定义了一个群同态：
ϕ:G→Sym(X)\phi: G \to \text{Sym}(X)ϕ:G→Sym(X)
这意味着群作用本质上就是把抽象群 GGG 表示为集合 XXX 上的置换群。
2. 两个核心概念：轨道与稳定子
研究群作用时，最核心的两个几何/代数对象是轨道（Orbit） 和 稳定子（Stabilizer）。
(1) 轨道（Orbit）------"元素被变到了哪里"
对于集合 XXX 中的一个点 xxx，在群 GGG 的作用下，xxx 能到达的所有位置构成的集合称为 xxx 的轨道 ，记作 Orb(x)\text{Orb}(x)Orb(x) 或 G⋅xG \cdot xG⋅x：
Orb(x)={g⋅x∣g∈G}⊆X\text{Orb}(x) = \{ g \cdot x \mid g \in G \} \subseteq XOrb(x)={g⋅x∣g∈G}⊆X
- 轨道等价关系 ：群作用将集合 XXX 划分（Partition）为若干个互不相交的轨道的并集。
(2) 稳定子（Stabilizer）------"哪些元素保持它不动"
对于集合 XXX 中的一个点 xxx，所有让 xxx 保持原位不动的群元素构成的集合称为 xxx 的稳定子 ，记作 StabG(x)\text{Stab}_G(x)StabG(x) 或 GxG_xGx：
StabG(x)={g∈G∣g⋅x=x}⊆G\text{Stab}_G(x) = \{ g \in G \mid g \cdot x = x \} \subseteq GStabG(x)={g∈G∣g⋅x=x}⊆G
- 重要性质 ：对任意 x∈Xx \in Xx∈X，稳定子 StabG(x)\text{Stab}_G(x)StabG(x) 必为 GGG 的一个子群。
3. 群作用三大基石定理
(1) 轨道-稳定子定理（Orbit-Stabilizer Theorem）
设有限群 GGG 作用在集合 XXX 上，对任意 x∈Xx \in Xx∈X，轨道的元素个数与稳定子的指数（陪集个数）相等：
∣Orb(x)∣=G:StabG(x)=∣G∣∣StabG(x)∣\vert{}\text{Orb}(x)\vert{} = G : \\text{Stab}_G(x) = \frac{\vert{}G\vert{}}{\vert{}\text{Stab}_G(x)\vert{}}∣Orb(x)∣=G:StabG(x)=∣StabG(x)∣∣G∣
直观： 使得点 xxx 移动到同一个新位置的所有群元素，刚好构成稳定子的一个左陪集。
(2) 伯恩赛德引理（Burnside's Lemma）
轨道的总数量（即不同"对称类"的数量）等于群元素固定点个数的平均值：
轨道数=1∣G∣∑g∈G∣Xg∣\text{轨道数} = \frac{1}{\vert{}G\vert{}} \sum_{g \in G} \vert{}X^g\vert{}轨道数=∣G∣1g∈G∑∣Xg∣
其中 Xg={x∈X∣g⋅x=x}X^g = \{ x \in X \mid g \cdot x = x \}Xg={x∈X∣g⋅x=x} 表示在群元素 ggg 作用下保持不动的点集。这个引理是 Polya 组合计数定理的基石。
(3) 类方程（Class Equation）
当群 GGG 通过共轭作用 （即 g⋅x=gxg−1g \cdot x = g x g^{-1}g⋅x=gxg−1）作用在自身 X=GX = GX=G 上时，轨道定理给出了著名的类方程：
∣G∣=∣Z(G)∣+∑iG:CG(xi)\vert{}G\vert{} = \vert{}Z(G)\vert{} + \sum_{i} G : C_G(x_i)∣G∣=∣Z(G)∣+i∑G:CG(xi)
其中 Z(G)Z(G)Z(G) 是群的中心，CG(xi)C_G(x_i)CG(xi) 是元素 xix_ixi 的中心化子（即共轭作用下的稳定子）。类方程是证明 ppp-群性质（如中心非平凡）以及柯西定理、西洛定理（Sylow Theorems）的核心武器。
4. 经典群作用示例
| 群 GGG | 作用集 XXX | 作用方式 g⋅xg \cdot xg⋅x | 轨道的含义/应用 |
|---|---|---|---|
| 二面体群 DnD_nDn | 正 nnn 边形的顶点 {1,...,n}\{1, \dots, n\}{1,...,n} | 几何旋转与翻转 | 自然的置换作用，Orb(1)=X\text{Orb}(1) = XOrb(1)=X（传递作用） |
| 任意群 GGG | 自身 X=GX = GX=G | 左乘作用 ：g⋅x=gxg \cdot x = gxg⋅x=gx | 凯莱定理 （轨道只有一个，稳定子为 {e}\{e\}{e}） |
| 任意群 GGG | 自身 X=GX = GX=G | 共轭作用 ：g⋅x=gxg−1g \cdot x = gxg^{-1}g⋅x=gxg−1 | 轨道为共轭类 ，导出了类方程 |
| 群 GGG | 子群 HHH 的陪集集 G/HG/HG/H | 陪集左乘 ：g⋅(kH)=(gk)Hg \cdot (kH) = (gk)Hg⋅(kH)=(gk)H | 证明米勒/凯莱推广定理，构造有限商群 |