LeetCode 41. 缺失的第一个正数：从基础解法到原地哈希

题目描述(题目链接)

给你一个未排序的整数数组 nums，请你找出其中没有出现的最小的正整数。

进阶要求：请你实现时间复杂度为 On并且只使用常数级别额外空间的解决方案。

示例：

输入：nums = $1,2,0$ ，输出：3

输入：nums = $3,4,-1,1$ ，输出：2

输入：nums = $7,8,9,11,12$ ，输出：1

算法一：排序 + 线性遍历（基础解法）

核心思路：

先对数组进行升序排序。排序后，正数会集中在数组的后半部分。我们只需要从第一个正数开始遍历，检查它是否等于我们期望的连续正整数（从 1 开始）。如果不等，则缺失；如果遍历完都连续，则返回下一个期望值。

代码实现：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int firstMissingPositive(vector<int>& nums) {
        sort(nums.begin(), nums.end());
        int expect = 1; // 期望找到的第一个正数
        
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            if (nums[i] <= 0) continue; // 跳过非正数
            if (i > 0 && nums[i] == nums[i-1]) continue; // 跳过重复元素
            
            if (nums[i] != expect) {
                return expect; // 出现断层，返回期望值
            }
            expect++;
        }
        return expect;
    }
};

复杂度分析：

时间复杂度：On logn，主要消耗在排序上。

空间复杂度：O logn 或 O1，取决于排序算法的实现。

算法二：哈希表（直观解法）

核心思路：

利用哈希集合记录数组中出现的所有数字。然后从 1 开始逐个递增判断是否在集合中，第一个不在集合中的数字即为答案。

代码实现：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int firstMissingPositive(vector<int>& nums) {
        unordered_set<int> numSet;
        for (int num : nums) {
            numSet.insert(num);
        }
        
        int expect = 1;
        while (numSet.count(expect)) {
            expect++;
        }
        return expect;
    }
};

复杂度分析：

时间复杂度：On ，哈希表插入和查询平均为 O1。

空间复杂度：On，需要额外的哈希表存储数据。

算法三：原地哈希 / 置换法（最优解法）

核心思路：

长度为n的数组，缺失的第一个正数一定在 $1n+1$ 范围内。

我们可以将数组本身作为哈希表：

遍历数组，对于数字 x（满足 1≤x≤n），将其交换到它"应该在"的位置，即索引 x-1 处。

通过不断的交换，让尽可能多的数字归位

再次遍历数组，第一个满足 nums $i$ != i+1 的位置，i+1 就是缺失的第一个正数。

如果所有位置都正确，则缺失的是 n+1。

代码实现：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int firstMissingPositive(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        
        // 第一步：原地置换
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            // 当 nums[i] 在 [1, n] 范围内，且没有放在正确的位置上时，进行交换
            // nums[nums[i] - 1] != nums[i] 用于处理重复元素，防止死循环
            while (nums[i] > 0 && nums[i] <= n && nums[nums[i] - 1] != nums[i]) {
                swap(nums[i], nums[nums[i] - 1]);
            }
        }
        
        // 第二步：检查哪个位置上的数字不对
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (nums[i] != i + 1) {
                return i + 1;
            }
        }
        
        // 如果所有位置都正确，说明缺失的是 n+1
        return n + 1;
    }
};

复杂度分析：

时间复杂度：On 。虽然嵌套了 while，但每个数字最多被交换一次到正确位置，总交换次数不超过 n次。

空间复杂度：O1。只使用了常数个变量，没有额外数组。