《把定理跑出来》系列收官之作。网络流是本科图论的最后一座山，也是前三讲所有工具的汇合点：增广路里跑着最短路式的搜索，匹配转化用着第 3 讲的多项式自信，Hall 定理的验证靠第 2 讲的遍历。
这一讲跑三件事：最大流最小割定理的对偶性 （100 组随机网络数值验证）、Edmonds-Karp 与 Dinic 的增广次数差距 （单位容量网络实测 5.8 倍）、二分图匹配的三方对拍与 Hall/Konig 双定理。全文 8 张图由文末代码生成，种子固定，可复现。
摘要
- 最大流最小割定理 ：100 组随机网络实测------每组网络的最大流值与最小割容量严格相等（图 1 的实例里，流值 3 = 两条入汇边的容量 1+2）；对偶性让"瓶颈"从约束变成答案；
- Edmonds-Karp vs Dinic ：单位容量二分匹配网络上（half=400，总点 802），EK 37.69ms vs Dinic 6.48ms（5.8 倍）------容量全 1 时增广次数 = 匹配数 ≈ 400 次 BFS，Dinic 的分层 phase 只有 O(√E) 个；
- 二分图匹配三方对拍 ：Kuhn / Hopcroft-Karp / 最大流转换，n=30~240 四档规模答案完全一致 ；速度分层------HK 在 n=240 时比 Kuhn 快 10.5 倍；
- Hall 定理 ：min(|N(S)|−|S|) ≥ 0 ⟺ 存在饱和左部的匹配，400 组随机二分图全对；实测反例：7 个任务的可做集合只有 5 个志愿者------|N(S)|−|S| = −2，落单是数学必然；
- Konig 定理 ：最大匹配 = 最小点覆盖，构造法验证 200/200------从最大匹配沿交替路标记，"未标记左点 + 已标记右点"就是一个合法点覆盖；
- 应用闭环：8 任务 × 6 志愿者的分配问题------最大匹配 6，2 个任务落单是 Hall 条件的必然而非调度不力。
关键词：网络流；最大流最小割定理；Edmonds-Karp；Dinic；二分图匹配；匈牙利算法；Hopcroft-Karp；Hall 定理；Konig 定理；对偶性
目录
- [1. 网络流：给图加一个"运输"的语义](#1. 网络流：给图加一个"运输"的语义)
- [2. 最大流最小割定理：对偶性让瓶颈自己现形](#2. 最大流最小割定理：对偶性让瓶颈自己现形)
- [3. Edmonds-Karp vs Dinic：增广次数的差距](#3. Edmonds-Karp vs Dinic：增广次数的差距)
- [4. 二分图匹配 = 单位容量最大流](#4. 二分图匹配 = 单位容量最大流)
- [5. Hall 定理：落单是数学必然](#5. Hall 定理：落单是数学必然)
- [6. Konig 定理：最大匹配 = 最小点覆盖](#6. Konig 定理：最大匹配 = 最小点覆盖)
- [7. 系列收官：六讲的知识地图](#7. 系列收官：六讲的知识地图)
- [8. 复现指南](#8. 复现指南)
- [9. 写在最后](#9. 写在最后)
1. 网络流：给图加一个"运输"的语义
网络 = 有向图 + 边容量（这条边最多能"运"多少）+ 源点 s 和汇点 t。"最大流"问的是：从 s 到 t，单位时间最多能运多少？
它在课程里的位置非常微妙------前面学的遍历、最短路、MST 都是"一个算法解一类题"，而网络流的正确性来自一条深刻的对偶定理：
最大流最小割定理（Ford--Fulkerson, 1956）：一个网络的最大流值，等于把顶点切成两半时"跨割容量之和"最小的那个割的容量。
这句话意味着：优化问题（最大流）的答案，和约束问题（最小割）的答案，是同一个数。第 3 篇第一次见到这个结构（MST 的瓶颈性质），这一讲它是主角。
2. 最大流最小割定理：对偶性让瓶颈自己现形
实验：100 组随机网络（n=6~12，边容量 1~9 随机），每组分别求最大流（Dinic）和最小割（残量网络中从 s 出发的可达集 S，跨割容量）：
图 2：100/100 组------最大流值与最小割容量严格相等。
看一个具体实例（图 1）：
图 1：12 点随机网络，流值 3 = 最小割容量 3。 红色两条边（7→11 容量 1、10→11 容量 2）是汇点 t 仅有的入边------算法没有被告知"t 的入边是瓶颈"，是对偶性让瓶颈自己现形。这就是最小割定理最迷人的地方：你不用猜瓶颈在哪，跑完最大流它自动浮出来。
工程对应物：第 1 篇第 6 节的"跨河通勤能力腰斩 53%"------那时我们就用过这个定理，只是没有点名。
3. Edmonds-Karp vs Dinic：增广次数的差距
求最大流的两代经典算法都基于"增广路"：找一条 s→t 的可行路径推流，重复到无路可增。
- Edmonds-Karp ：每次 BFS 找最短增广路，O(VE²)；
- Dinic ：BFS 分层 + DFS 找阻塞流，O(V²E)。
纯看复杂度差别不大。但把网络换成单位容量的二分匹配网络（容量全 1 时增广次数 = 匹配数，每次增广 EK 都要一次全图 BFS，而 Dinic 的分层 phase 只有 O(√E) 个）：
图 3：half 从 10 到 400。 half=400（总点 802）时 EK 37.69ms vs Dinic 6.48ms（5.8 倍）------而且 EK 曲线的斜率明显更陡（增广次数随规模线性涨、每次 BFS 全图扫）。
一个诚实的补充：随机大容量图上两者几乎打平（几轮增广就满流）------算法差距只在"增广次数多"的网络上显形。这也是选型的真实逻辑：先想清楚你的图属于哪种形态。
4. 二分图匹配 = 单位容量最大流
第 2 篇讲派单时预告过：二分图最大匹配可以转成最大流------加超级源 S 连左部（容量 1）、右部连超级汇 T（容量 1）、左到右的可行边容量 1。匹配数 = 最大流值。
课程版三方对拍：同一个二分图，Kuhn（匈牙利增广）、Hopcroft-Karp（分层增广）、最大流转换（Dinic），n=30~240 四档：
图 4：左：三种算法的匹配数逐点一致（断言保证）；右：耗时分层------n=240 时 Kuhn 4.52ms、HK 0.43ms（快 10.5 倍）、最大流转换 4.70ms。
这张图把两条线索焊在了一起：匹配 = 流（定理），HK = Dinic 的二分图特化（直觉）------二分图的层次结构让 Dinic 的 phase 数恰好变成 O(√V)，于是 HK 就是"Dinic 特化的匹配算法"。学懂了网络流，匹配算法全家桶免费附赠。
5. Hall 定理：落单是数学必然
匹配数 < 任务数时， managers 的第一反应是"调度不力"。Hall 定理说：未必------有些落单是数学必然。
Hall 定理：存在饱和全部左点的匹配 ⟺ 对任意左点子集 S，|N(S)| ≥ |S|（它们的邻居至少和它们一样多）。
实测 400 组随机二分图：min(|N(S)|−|S|) ≥ 0 与"存在饱和左部的匹配"400/400 完全一致（min 用小规模枚举全部 S⊆L 计算，匹配用 HK 计算------两个独立方法）。
图 5：实测反例。 8 个任务里前 7 个的可做集合只有 5 个志愿者------|N(S)|−|S| = 5−7 = −2 < 0，Hall 条件违反：无论调度器多聪明，至少 2 个任务落单。
Hall 条件的价值在于"一眼可查"：不用跑匹配算法，扫一遍每个任务子集的邻居数就能预判匹配结果。这就是它比"试一试"高级的地方。
图 5b：应用闭环。 8 任务 × 6 志愿者的分配实例：最大匹配 6，任务 4、5 落单（红圈）------绿边是选中的指派，落单是 Hall 条件的必然而非调度不力。
6. Konig 定理：最大匹配 = 最小点覆盖
二分图的第二个对偶定理：最大匹配的边数 = 最小点覆盖的点数（选最少的顶点，让每条边至少碰到一个）。
构造法验证：从最大匹配出发，沿"非匹配边（左→右）、匹配边（右→左）"从所有未匹配左点做交替路标记------未标记的左点 + 已标记的右点就是一个最小点覆盖：
图 6：200 组随机二分图，构造出的点覆盖全部合法（每条边至少一端被盖）且大小恰等于最大匹配数------200/200。
应用原型：用最少的摄像头盯住所有通道、用最少的拦截点切断所有走私路线、用最少的补丁盖住所有漏洞------凡"选最少的点覆盖所有的边"，都是 Konig 在工作。
7. 系列收官：六讲的知识地图
图 8：六讲知识地图。 从第 1 讲的握手定理到本讲的 Hall/Konig，每一讲都是同一个动作：课本给结论，我们造样本，让结论在数据里再发生一次。
六讲的数字账本：
| 讲次 | 验证的定理/结论 | 关键实测 |
|---|---|---|
| 第 1 讲 概念与存储 | 握手定理、计数公式、度分布 | 5 类图全等；存储边界反转 |
| 第 2 讲 遍历与连通 | O(n²)/O(n+e)、相变 | 序列差异 91%；138 倍；c=ln n |
| 第 3 讲 欧拉与哈密顿 | 判定×构造、规模墙 | 900+200 组对拍；NP 完全露脸 |
| 第 4 讲 最短路三件套 | 负权失效、Floyd 的 k | 误差 100%；路径重建 30/30 |
| 第 5 讲 生成树与拓扑 | 切割性质、关键路径 | 1429/1429；延误实验 |
| 第 6 讲 网络流与匹配 | 对偶性、Hall/Konig | 100/100；400/400；200/200 |
8. 复现指南
graph-course/
├── course6.py # 六组实验（对偶/横评/匹配三方/Hall/Konig/应用，~330 行）
├── figs6.py # 8 张配图
├── results/course6.json
└── figures/
bash
python course6.py # → results/course6.json（约 1 分钟）
python figs6.py # → 8 张图依赖：本讲复用第 1 篇的 Dinic 骨架（sys.path 引入 graph-blog/kernel.py）。正确性断言：EK/Dinic 流值相等（每档规模）、匹配三方对拍一致（assert）、Hall 与匹配存在性 400 组一致、Konig 构造 200 组合法且等大小。种子 SEED=2026，确定性结果逐字节一致。
9. 写在最后
六讲写完，这个系列想传达的方法只有一条：
图论的每一个定理，都值得在计算机里重新"发生"一次。 背下来的握手定理会忘，跑过的 264 = 264 不会；抄来的"Hopcroft-Karp 快"没有体感，亲手对拍出的 12.7 倍才是选型时的肌肉记忆；教科书上"NP 完全"四个字很抽象，亲眼看一次回溯在阈值附近超时 22/25 就再也不会误解它。
以及最重要的------当算法给你的答案违反直觉时，先怀疑模型的假设，再怀疑算法的实现，最后才轮到接受"反直觉"本身。第 4 讲的单位换算 bug、第 5 讲的 vl/ve 混用、本讲第一版割容量把"入边"也算了进去------每一次"错误的结果"背后都是一个值得写进博客的洞见。
数据不会说谎，但会考验你提问的方式。
系列完结。六讲全部代码与数据：
graph-course/（course1~6.py + figs*.py + results/*.json）。祝每一场考试、每一次面试、每一个工程决策，都有跑出来的数据撑腰。
系列目录：第 1 讲 基本概念与存储 · 第 2 讲 遍历与连通 · 第 3 讲 欧拉图与哈密顿图 · 第 4 讲 最短路三件套 · 第 5 讲 生成树与拓扑排序 · 第 6 讲 网络流与匹配（本篇，完结）