蓝桥杯·全国青少年信息素养大赛·电子学会C/C++考级：并查集连通块与朋友圈问题解析

一、引言：为什么一定要会并查集

无论你是冲 蓝桥杯 （第十七届省赛已在 2026 年 4 月落幕、第十八届报名季随之开启），还是在准备 全国青少年信息素养大赛 算法应用赛项（复赛大纲强调字符串、列表、函数与递归等基础能力），又或是正在报名 中国电子学会 2026 年 12 月软件编程考级（C/C++ 一级至十级、Python 一级至六级，报名 9 月 23 日---12 月 2 日，12 月 12 日开考）------「集合合并与连通性判断」都是绕不开的一类题。

这类题在真题里常化身成：

班里有几「朋友圈」（连通块计数）；
两个人是不是同一个社团的（连通性查询）；
网络里加一条线会不会成环（判环）；
若干村庄最少修几段路全连通（最小生成树的前置思路）。

它们的底层数据结构，就是 并查集（Disjoint Set Union，DSU，也叫不相交集合）。本文用一个原创题带你吃透它，并给出 C++ 与 Python 双版本，再延伸到网格、判环与种类并查集。

二、题目：校园朋友圈统计

【原创题】校园朋友圈

某班有 n 名同学（编号 1 ~ n）。已知 m 对「朋友关系」，朋友关系双向传递：如果 A 和 B 是朋友，B 和 C 是朋友，那么 A、B、C 就属于同一个朋友圈。

请完成两件事：

输出全班最终形成的朋友圈数量 ；

支持 q 次询问：编号为 a 和 b 的两名同学是否在同一朋友圈？

输入示例

复制代码

输出示例

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朋友圈数量 = 2
同朋友圈
不同朋友圈
不同朋友圈

样例解释 ：1-2-3 通过 2-5 与 4-5 连通，于是 {1,2,3,4,5} 是一个朋友圈；6 单独一个，共 2 个朋友圈。1 和 4 同圈，1 和 6 不同圈，5 和 6 也不同圈。

三、核心考点拆解

考点	说明
初始化	每个人最开始是自成一个集合，`parent[i] = i`，朋友圈数 = `n`
find 查找根	顺着 `parent` 往上找，直到 `parent[x] == x`；用路径压缩把沿途节点直接挂在根上，加速后续查询
unite 合并	找到两点的根，若不同根则把一棵树挂到另一棵下面，并让朋友圈数减一
same 连通判断	两人同圈 ⇔ 它们的根相同（`find(a) == find(b)`）
按大小合并	把「小树」挂到「大树」下，保证树高不超过 `O(log n)`，避免退化成链

关键直觉 ：每成功合并一次，集合数就减一；一开始有 n 个孤立点，最后剩下的集合数就是朋友圈数量。

四、解法与代码实现

思路

初始化 n 个集合，comps = n。
对每条朋友关系 (u, v)：若 u、v 当前不在同一集合，就合并，并把 comps 减一。
所有关系处理完后，comps 即朋友圈数量。
询问直接比较两人根是否相同。

C++ 版本

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

struct DSU {
    vector<int> parent, sz;
    int comps;
    DSU(int n) : parent(n + 1), sz(n + 1, 1), comps(n) {
        for (int i = 1; i <= n; i++) parent[i] = i;
    }
    // 查找根 + 路径压缩（迭代写法，避免递归爆栈）
    int find(int x) {
        while (parent[x] != x) {
            parent[x] = parent[parent[x]]; // 路径减半压缩
            x = parent[x];
        }
        return x;
    }
    // 合并两集合，返回是否真正发生了合并
    bool unite(int a, int b) {
        a = find(a); b = find(b);
        if (a == b) return false;          // 已在同一集合
        if (sz[a] < sz[b]) swap(a, b);     // 按大小合并
        parent[b] = a;
        sz[a] += sz[b];
        comps--;
        return true;
    }
    bool same(int a, int b) { return find(a) == find(b); }
};

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    DSU dsu(n);
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        dsu.unite(u, v);
    }
    cout << "朋友圈数量 = " << dsu.comps << "\n";
    int q; cin >> q;
    while (q--) {
        int a, b; cin >> a >> b;
        cout << (dsu.same(a, b) ? "同朋友圈" : "不同朋友圈") << "\n";
    }
    return 0;
}

Python 版本

python 复制代码

class DSU:
    def __init__(self, n):
        self.parent = list(range(n + 1))
        self.sz = [1] * (n + 1)
        self.comps = n

    def find(self, x):
        while self.parent[x] != x:
            self.parent[x] = self.parent[self.parent[x]]
            x = self.parent[x]
        return x

    def unite(self, a, b):
        a, b = self.find(a), self.find(b)
        if a == b:
            return False
        if self.sz[a] < self.sz[b]:
            a, b = b, a
        self.parent[b] = a
        self.sz[a] += self.sz[b]
        self.comps -= 1
        return True

    def same(self, a, b):
        return self.find(a) == self.find(b)


def solve():
    n, m = map(int, input().split())
    dsu = DSU(n)
    for _ in range(m):
        u, v = map(int, input().split())
        dsu.unite(u, v)
    print("朋友圈数量 =", dsu.comps)
    q = int(input())
    for _ in range(q):
        a, b = map(int, input().split())
        print("同朋友圈" if dsu.same(a, b) else "不同朋友圈")


if __name__ == "__main__":
    solve()

五、时间与空间复杂度

时间复杂度 ：每次 find 经过路径压缩 + 按大小合并后，单次操作近似 O(α(n))，α 是反阿克曼函数（增长极慢，n=10^9 时也基本不超过 4）。整体约 O((n + m) · α(n)) ≈ O(n + m)。
空间复杂度 ：两个数组 parent、sz，O(n)。

对比朴素做法（每次合并暴力改标记 O(n)），并查集把「集合合并」从 O(n²) 压到接近线性，是蓝桥杯大赛里处理「动态连通」的标配。

六、进阶拓展

进阶 1：网格岛屿数量（二维并查集）

把 r 行 c 列的格子 (r, c) 映射成一维编号 r * cols + c，其余逻辑与一维完全相同：

cpp 复制代码

int id(int r, int c, int cols) { return r * cols + c; }
// 对每个陆地格子，与上下左右四个邻居（若都是陆地）unite 即可

这就是蓝桥杯里常见的「岛屿数量 / 省份数量」题的并查集解法（也可用 DFS/BFS Flood Fill，思路相通）。

进阶 2：并查集判环

在无向图中加边 (u, v) 前先判断：if (dsu.same(u, v)) 说明两点已连通，再加这条边必成环；否则 unite。常用于「最少删几条边不成环」「K 度约束生成树」等。

进阶 3：按秩（rank）合并

本文用「按大小」合并；也可以记录树高 rank，把矮树挂到高树下，效果等价，都能保证树高 O(log n)。

进阶 4：与种类 / 带权并查集对照

当关系不止「同/不同」，而是「A 吃 B、B 吃 C」这类带相对关系 时，就要在 find 时同步维护偏移量、在 unite 时列方程求新根权值------这就是「种类并查集 / 带权并查集」（如经典的食物链、阵营冲突模型）。它是在本篇「基础连通」之上加了一层关系编码，建议先吃透本文再上难度。

进阶 5：最小生成树（Kruskal）

Kruskal 算法每选一条最小权边，都要用并查集判断「两端是否已连通」来避免成环------所以并查集也是最小生成树的前置积木。

七、易错点清单

忘记初始化 ：parent[i] 必须初始为 i，否则所有查找都会错。
路径压缩写错 ：应写成 parent[x] = find(parent[x])（或迭代版 parent[x] = parent[parent[x]]），返回的是根，而不是 find(x) 后再赋值给无关变量。
合并前没先 find：直接拿原始编号去挂，会把树接错；一定要先取各自的根。
comps 乱减 ：只有「真正发生合并」时才 comps--，两人本就同圈时不能减。
多组测试未重置 ：有多组数据时要重新 new 一个并查集，别复用旧数组。
下标从 0 还是 1 起 ：题目编号若从 1 开始，数组开 n+1 更省心；若是 0 起，注意映射不要越界。

八、小结与互动

并查集三句话记牢：初始化各自为营 → 查根用路径压缩 → 合并按大小（或秩）挂、合并成功才计数。它能把「连通块数量、是否连通、是否成环、最小生成树」一串题一次性串起来，是蓝桥杯、信息素养大赛算法应用、电子学会 C/C++ 与 Python 考级的高级必备结构。

今日小互动：如果把题目改成「每次询问两人是否同圈」改成「动态加朋友关系、随时问两人是否同圈」，你的并查集需要改哪一部分？欢迎在评论区写下你的思路，或贴出你用其他语言（如 Java）的实现版本，一起交流～

如果觉得有帮助，点赞 + 收藏 + 关注，后续还会更新「差分」「前缀和」「LCA」等蓝桥杯高频考点专题。

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