考研高数综合题｜微分方程 + 平面面积 + 旋转体体积

题目

设非负函数 y=y(x) (x≥0)y=y(x)\ (x\ge0)y=y(x) (x≥0) 满足微分方程 xy′′−y′+2=0xy''-y'+2=0xy′′−y′+2=0，当曲线 y=y(x)y=y(x)y=y(x) 过原点时，其与直线 x=1x=1x=1 及 y=0y=0y=0 围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。

核心思路

结论1：方程是不显含y的二阶微分方程 ，换元 p=y′p=y'p=y′，y′′=dpdxy''=\dfrac{dp}{dx}y′′=dxdp，降阶变成一阶线性微分方程。

结论2：一阶线性微分方程标准形式：dpdx+P(x)p=Q(x)\boldsymbol{\dfrac{dp}{dx}+P(x)p=Q(x)}dxdp+P(x)p=Q(x)，套通解公式 p=e∫Pdx(∫Qe−∫Pdxdx+C1)p=e^{\int Pdx}\big(\int Q e^{-\int Pdx}dx+C_1\big)p=e∫Pdx(∫Qe−∫Pdxdx+C1)。

结论3：已知曲线过原点，代入初值条件消常数；利用定积分面积条件 求出剩下参数，得到曲线表达式。

结论4：平面图形绕y轴旋转，柱壳法公式 ：V=2π∫abx⋅y(x)dx\boldsymbol{V=2\pi\int_{a}^{b} x\cdot y(x) dx}V=2π∫abx⋅y(x)dx。

步骤1：降阶，解微分方程

原方程：

xy′′−y′+2=0xy''-y'+2=0xy′′−y′+2=0

令 p=y′p=y'p=y′，y′′=dpdxy''=\dfrac{dp}{dx}y′′=dxdp，代入：

xdpdx−p+2=0x \frac{dp}{dx}-p+2=0xdxdp−p+2=0

整理为一阶线性标准型：

dpdx−1xp=−2x\frac{dp}{dx}-\frac1x p = -\frac2xdxdp−x1p=−x2

这里 P(x)=−1x, Q(x)=−2xP(x)=-\dfrac1x,\ Q(x)=-\dfrac2xP(x)=−x1, Q(x)=−x2

套一阶线性通解公式：

y′+P(X)∗y=Q(X)y'+P(X)*y=Q(X)y′+P(X)∗y=Q(X)

同乘：e∫P(x)dx求y 同乘： e^{\int P(x) dx}求y同乘：e∫P(x)dx求y

p=e∫1xdx(∫−2xe−∫1xdxdx+C1)=x(∫−2x2dx+C1)=x(2x+C1)=2+C1x \begin{align*} p &= e^{\int \frac1x dx}\left(\int -\frac2x e^{-\int\frac1x dx}dx + C_1\right) \\ &= x\left(\int -\frac{2}{x^2}dx + C_1\right) \\ &= x\left(\frac{2}{x}+C_1\right) \\ &= 2 + C_1 x \end{align*} p=e∫x1dx(∫−x2e−∫x1dxdx+C1)=x(∫−x22dx+C1)=x(x2+C1)=2+C1x

因为 p=y′p=y'p=y′，所以 y′=2+C1xy'=2+C_1 xy′=2+C1x，对x积分：

y=∫(2+C1x)dx=2x+12C1x2+C2y=\int(2+C_1 x)dx=2x+\frac12 C_1 x^2 + C_2y=∫(2+C1x)dx=2x+21C1x2+C2

步骤2：代入条件求常数

条件1：曲线过原点 (0,0)(0,0)(0,0)，代入 x=0,y=0x=0,y=0x=0,y=0，得到 C2=0\boldsymbol{C_2=0}C2=0

y=2x+12C1x2y=2x+\frac12 C_1 x^2y=2x+21C1x2

条件2：0≤x≤10\le x\le10≤x≤1，与x轴围成面积等于2

∫01(2x+12C1x2)dx=2 \int_{0}^{1}\left(2x+\frac12 C_1 x^2\right)dx = 2 ∫01(2x+21C1x2)dx=2

计算定积分：

$x2+C16x3$ 01=1+C16=2 \left $x\^2+\\frac{C_1}{6}x\^3\\right$ _0^1 = 1+\frac{C_1}{6}=2 $x2+6C1x3$ 01=1+6C1=2

解得：C1=6C_1=6C1=6

得到曲线方程：

y=2x+3x2y=2x+3x^2y=2x+3x2

步骤3：求绕y轴旋转体积（柱壳法）

绕y轴旋转柱壳法公式：

V=2π∫01x⋅y(x)dxV=2\pi\int_{0}^{1} x\cdot y(x) dxV=2π∫01x⋅y(x)dx

代入 y=2x+3x2y=2x+3x^2y=2x+3x2

V=2π∫01x(2x+3x2)dx=2π∫01(2x2+3x3)dx=2π $23x3+34x4$ 01=2π(23+34)=2π⋅1712=17π6 \begin{align*} V &= 2\pi\int_{0}^{1}x(2x+3x^2)dx \\ &=2\pi\int_{0}^{1}(2x^2+3x^3)dx \\ &=2\pi\left $\\frac23x\^3+\\frac34x\^4\\right$ _0^1 \\ &=2\pi\left(\frac23+\frac34\right) \\ &=2\pi\cdot \frac{17}{12}\\ &=\boldsymbol{\frac{17\pi}{6}} \end{align*} V=2π∫01x(2x+3x2)dx=2π∫01(2x2+3x3)dx=2π $32x3+43x4$ 01=2π(32+43)=2π⋅1217=617π

易错点总结

降阶微分方程：不显含y ，换元 p=y′p=y'p=y′，不要换成对y求导的形式，这里自变量是x。
绕y轴旋转：优先选柱壳法，不用反解x关于y的表达式，计算量远小于圆盘法。
面积条件：函数是非负函数，直接积分不需要分段去绝对值。