壹星（YIXING）技术笔记｜东莞市壹星自动化设备有限公司
透明瓶内部特征在图像上偏了多少，不一定能唯一换算成一个周向相位。即使内外壁同心、折射率已知、特征位于已知半径上，同一条进入瓶内的视线也可能与该半径圆相交两次。先检查近、远分支，再讨论相位定位，比直接套一个反正弦公式更可靠。
本文给出二维同心圆壳的逆向光线追踪教学示例，只用于研究几何可辨识性，不表示任何圆瓶贴标机配备内部视觉定位，也不输出旋转轴补偿指令。
从像素到一条视线
取瓶心为原点，相机光心在负横坐标方向，光轴指向正横坐标。已经完成相机内部标定且校正镜头畸变后，横向像素偏移u与像素焦距f给出视线角α=arctan(u/f)。相机方向向量为(cosα,sinα)。这里u和f都使用像素，空间半径和相机距离则统一使用毫米。
已知起点o和单位方向d，光线为o+td。与半径R的圆相交时，解t²+2(o·d)t+o·o−R²=0，选择正向交点。判别式为负表示没有几何交点，与发生全反射是两种不同失败状态。
每次折射都使用当地法线
进入外壁和内腔时，法线均选择指向下一介质的方向。折射满足n₁sin i=n₂sin r，入射角和折射角相对当地法线定义，见OpenStax折射章节。在可逆几何光学假设下，可以沿相机到物体的方向追踪。
向量形式中，设η=n₁/n₂、q=d·N，切向分量乘η，法向分量为√1−η²(1−q²)。根号内为负时，没有本次透射解，需报告全反射；其条件见OpenStax全反射章节。不能用"没碰到内圆"替代这个判断。
已知特征半径仍有两个分支
光线进入内腔后，与特征所在的半径圆求交。两个正向交点分别对应近侧与远侧候选位置，不代表图像同时存在两个真实特征。若实际只检测到一个特征，仍需要额外的可见性、身份、时间连续性或多视角信息选择分支。
特别是中心视线：位于前侧与后侧的两个相反相位都可能投影到中心像素。这种歧义不会因为焦距更准确或计算小数更多而消失。如果内部吸管形状随姿态变化，特征回转半径本身也不能当作常量。
特征半径与瓶内半径是两个独立输入，不能因为内壁尺寸已知就用它替代特征位置。若特征半径未知，一条视线上可能存在连续多个位置候选，而不只是本例的两个交点。所谓唯一定位，必须明确是哪项额外信息消除了这些自由度。
离线追踪与分支输出
教学参数设相机距瓶心三百毫米，外半径三十、内半径二十七、特征半径二十毫米，折射率依次为一、一点五、一点三三。这些是理想介质参数，并非某种瓶材和填充液的认证数值。相位零点朝向相机，向上转为正。
from math import sqrt, atan, atan2, cos, sin, degrees
def dot(a, b):
return sum(x*y for x, y in zip(a, b))
def intersections(origin, direction, radius):
b = dot(origin, direction)
discriminant = b*b-dot(origin, origin)+radius*radius
if discriminant < 0:
return []
roots = sorted((-b-sqrt(discriminant), -b+sqrt(discriminant)))
return [tuple(origin[i]+t*direction[i] for i in range(2))
for t in roots if t > 1e-9]
def refract(direction, point, radius, n1, n2):
normal = tuple(-x/radius for x in point)
q = dot(direction, normal)
eta = n1/n2
root = 1-eta*eta*(1-q*q)
if root < 0:
raise ValueError("total_internal_reflection")
return tuple(eta*(direction[i]-q*normal[i])+sqrt(root)*normal[i] for i in range(2))
def phases(pixel, inside_index=1.33):
angle = atan(pixel/2500.0)
direction = (cos(angle), sin(angle))
outer = intersections((-300.0, 0.0), direction, 30.0)
if not outer:
raise ValueError("miss_outer")
direction = refract(direction, outer[0], 30.0, 1.0, 1.5)
inner = intersections(outer[0], direction, 27.0)
if not inner:
raise ValueError("miss_inner")
direction = refract(direction, inner[0], 27.0, 1.5, inside_index)
candidates = intersections(inner[0], direction, 20.0)
if not candidates:
raise ValueError("miss_feature_radius")
return [degrees(atan2(p[1], -p[0])) % 360 for p in candidates]
for pixel in (0, 30, 70):
print(f"pixel={pixel} candidate_phases=" + ",".join(f"{x:.6f}" for x in phases(pixel)))
for pixel, index in ((300, 1.33), (240, 1.0)):
try:
phases(pixel, index)
except ValueError as exc:
print(f"pixel={pixel} inside_index={index:.2f}: {exc}")输出为：
pixel=0 candidate_phases=0.000000,180.000000
pixel=30 candidate_phases=8.739608,173.184365
pixel=70 candidate_phases=20.739997,163.937978
pixel=300 inside_index=1.33: miss_outer
pixel=240 inside_index=1.00: total_internal_reflection输出保留两个候选，而没有把近侧解自动称为真实相位。后两行还区分了外圆未相交和内界面全反射。代码中的微小正距离仅用于排除数值上的起点重复，不代表光学测量精度。
复核追踪实现时，可以检查每个交点是否位于对应圆上、折射前后方向是否保持单位长度，以及切向分量是否符合折射定律。对已知特征相位，还应比较它的预测成像与保留图像；仅把同一反解公式重复调用一次，不是独立的成像验证。
当视线接近特征圆的切线时，两交点接近合并，较小的像素或几何误差可能带来较大的相位变化。此时应报告候选范围和敏感性，而非只输出固定小数位的角度。改变填充状态或瓶壁结构后，也要重新核对模型输入。
模型还遗漏哪些成像条件
瓶壁偏心、非圆截面、镜头有限孔径、反射亮斑和多路径成像都可能破坏这条理想视线模型。二维截面假设还要求光路与所选截面相容；不能把任意相机俯仰下的像素直接代入。
实际标定应保留已知相位的独立验证样本，检查近远分支是否可识别及残差是否随姿态变化。某处没有透射解，也不证明整幅图像在该姿态完全没有信息。只有分支、几何和特征身份都得到验证后，相位结果才可能成为后续定位的输入。