二叉树
概念
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二叉树是一种常见的树状数据结构，每个节点最多有两个子节点，称为左子节点
和右子节点。它可以为空树（没有任何节点），或者由根节点及其子节点组成。
特点
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具有层级结构，其中顶层的节点被称为根节点(root)。根节点没有父节点，而其
他节点都有且只有一个父节点。叶子节点是指没有子节点的节点，它们位于树的
最底层。
定义要点
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节点(Node)：二叉树的基本单位。每个节点包含三个主要部分：
数据/值域：节点中存储的具体数据，可以是任何类型，例如整数、字符、对
象等。
左子节点：指向当前节点的左侧子节点的指针。如果没有左子节点，指针的值
为None或null。
右子节点：指向当前节点的右侧子节点的指针。如果没有右子节点，指针的值
为None或null。
根节点(Root Node)：二叉树的顶层节点，没有父节点。根节点是整个二叉树
的起点。
子节点(Child Node)：每个节点可以有零个、一个或两个子节点。左子节点和
右子节点是相对于父节点而言的。
叶子节点(Leaf Node)：没有子节点的节点被称为叶子节点。叶子节点位于二叉
树的最底层。
父节点(Parent Node)：一个节点的直接上层节点被称为其父节点。
兄弟节点(Sibling Node)：具有相同父节点的节点之间称为兄弟节点。
节点之间的连接(Edges)：边是连接节点的线条或指针，它表示一个节点与其子
节点之间的关系。
空树(Empty Tree)：没有任何节点的二叉树被称为空树。在空树中，根节点为
None 或 null。
二叉树(Binary Tree)：是一种有序树结构，其中每个节点最多有两个子节点，
即左子节点和右子节点。左子节点和右子节点的顺序是固定的。
二叉树的形态：二叉树可以具有不同的形态和结构，它可以是平衡的或非平衡
的，可以是满二叉树、完全二叉树或非完全二叉树等。
二叉树的高度(Height)：二叉树的高度是指从根节点到最深叶子节点的层数。
空树的高度为0，只有根节点的树的高度为1。
性质
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最大节点数量：
在二叉树的第n层，最多有2^(n-1)个节点。
在高度为h的二叉树中，最多有2^h - 1个节点。
最小高度：
对于含有n个节点的二叉树，它的最小高度为 log2(n+1)。
如果二叉树是平衡树，那么它的最小高度为 floor(log2(n+1))。
树的高度：
树的高度是指从根节点到最深叶子节点的路径上的边数。
对于n个节点的二叉树，它的高度最大为n，最小为log2(n+1)。
子树的高度：
二叉树的任意子树的高度不会超过整个二叉树的高度。叶子节点数和度为2
的节点数：
在二叉树中，度为2的节点数等于叶子节点数加1。
完全二叉树的性质：
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完全二叉树是一种特殊的二叉树，除了最后一层外，其他层的节点都必须是满的。
在完全二叉树中，叶子节点从左到右依次排列，不会出现在左侧缺少叶子节点的
情况。
完全二叉树可以使用数组来表示，节点按照层序遍历的顺序依次存放在数组中。
二叉搜索树的性质：
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二叉搜索树（Binary Search Tree，BST）是一种特殊的二叉树，满足以下性质：
左子树上的所有节点的值都小于根节点的值。
右子树上的所有节点的值都大于根节点的值。
左右子树也分别是二叉搜索树。
在二叉搜索树中，通过比较节点的值可以快速地搜索、插入和删除节点。
存储结构
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二叉树可以使用不同的存储结构来表示其节点和连接关系。常见的二叉树存储结
构包括链式存储和数组存储。下面对这两种存储结构进行详细讲解：
链式存储(Linked Representation)：
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链式存储使用节点来表示二叉树的各个部分，每个节点包含数据和指向左右子节
点的指针。链式存储可以通过类、结构体或节点对象实现。其中，每个节点由数
据域、左子节点指针和右子节点指针组成。
数组存储(Array Representation)：
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数组存储使用数组来表示二叉树的节点和连接关系。数组的索引可以代表节点在
二叉树中的位置，节点的值存储在数组对应位置上。
二者对比
链表存储结构的优点：
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灵活性高：链表存储结构可以动态地插入和删除节点，不需要提前确定存储空间
的大小。
支持任意形态的二叉树：链表存储结构可以直接表示任意形态的二叉树，包括不
平衡和不完全的二叉树。
内存利用效率高：链表存储结构只需要为每个节点分配内存，不会浪费空间。
链表存储结构的缺点：
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额外的指针开销：链表存储结构需要为每个节点维护两个指针（左子节点和右子
节点），增加了额外的指针开销。
空间开销较大：相比数组存储结构，链表存储结构会占用更多的存储空间来存储
指针信息。
数组存储结构的优点：
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内存连续、访问高效：数组存储结构的节点在内存中是连续存储的，可以通过索
引快速访问节点，访问效率较高。
空间利用效率高：对于满二叉树或完全二叉树这种特殊形态的二叉树，数组存储
结构可以节省存储空间。
数组存储结构的缺点：
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大小固定：数组存储结构需要提前确定二叉树的大小，当二叉树的节点数超过数
组大小时，需要重新分配内存，导致性能下降。
插入和删除困难：对于数组存储结构，插入和删除节点的操作相对复杂且耗时，
需要进行元素的移动和调整。
总结
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综上所述，链表存储结构适用于频繁的修改操作和不规则形态的二叉树，它具有
灵活性和动态性的优势。而数组存储结构适用于满二叉树或完全二叉树这种特殊
形态的二叉树，它具有内存连续和访问高效的优势。
实际应用
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搜索和排序算法：
二叉搜索树（Binary Search Tree，BST）是一种常用的数据结构，基于二叉树
实现。它具有快速的搜索、插入和删除操作，广泛用于搜索和排序算法，如二叉
搜索、二叉查找、二叉排序等。BST还可以根据中序遍历得到有序的数据序列。
文件系统的组织：
文件系统常常被组织成一棵树，其中每个节点代表一个目录或文件。使用二叉树
的方式可以方便地进行文件的搜索和管理操作，例如快速查找、遍历和删除文
件等。
表达式表示与求值：
二叉树可以用于表示数学表达式，其中每个节点表示操作符或操作数。通过遍历
二叉树，可以对表达式进行求值或转换。例如，通过后序遍历可以实现表达式求
值，通过中序遍历可以进行中缀表达式转换为后缀表达式。
解析和编译器设计：
编译器和解析器常常使用二叉树来解析源代码，并将其转换为语法树或抽象语法
树（Abstract Syntax Tree，AST）。语法树可以方便地对源代码进行分析、优
化和生成中间代码等。
网络和路由算法：
二叉树在网络和路由算法中有应用。例如，用于安全路由的Patricia树或前缀
树（Prefix Tree）是一种特殊的二叉树，可以高效地存储和查询路由信息。
Huffman编码：
Huffman编码是一种无损数据压缩算法，通过构建二叉树并对每个字符进行编码，
实现有效地压缩。二叉树中的叶子节点表示不同的字符，路径和编码表示字符的
编码。
数据库索引结构：
数据库中的索引结构常常使用二叉树的变种来实现，例如平衡二叉树、B 树和
B+树等。这些树结构可以加速数据库的查询和检索操作。
图形学和游戏开发：
在图形学和游戏开发中，二叉树可以用于场景图的构建和管理。场景图是一种用
于表示物体之间层次关系的树结构，便于进行碰撞检测、渲染优化和对象的空间
关系操作。
除此以外
二叉树还可以在许多其他领域中使用，如人工智能中的决策树和神经网络，
网络协议等方面
代码示例
java
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class Node {
int key;
Node left, right;
public Node(int item) {
key = item;
left = right = null;
}
}
public class BinaryTree {
Node root;
// 创建二叉树
public BinaryTree(int key) {
root = new Node(key);
}
public BinaryTree() {
root = null;
}
// 插入节点
public void insert(int key) {
root = insertNode(root, key);
}
private Node insertNode(Node root, int key) {
if (root == null) {
root = new Node(key);
return root;
}
if (key < root.key)
root.left = insertNode(root.left, key);
else if (key > root.key)
root.right = insertNode(root.right, key);
return root;
}
// 删除节点
public void delete(int key) {
root = deleteNode(root, key);
}
private Node deleteNode(Node root, int key) {
if (root == null)
return root;
if (key < root.key)
root.left = deleteNode(root.left, key);
else if (key > root.key)
root.right = deleteNode(root.right, key);
else {
if (root.left == null)
return root.right;
else if (root.right == null)
return root.left;
root.key = getMinValue(root.right);
root.right = deleteNode(root.right, root.key);
}
return root;
}
private int getMinValue(Node root) {
int minVal = root.key;
while (root.left != null) {
minVal = root.left.key;
root = root.left;
}
return minVal;
}
// 搜索节点
public Node search(Node root, int key) {
if (root == null || root.key == key)
return root;
if (key < root.key)
return search(root.left, key);
return search(root.right, key);
}
// 前序遍历
public void preorderTraversal(Node node) {
if (node != null) {
System.out.print(node.key + " ");
preorderTraversal(node.left);
preorderTraversal(node.right);
}
}
// 中序遍历
public void inorderTraversal(Node node) {
if (node != null) {
inorderTraversal(node.left);
System.out.print(node.key + " ");
inorderTraversal(node.right);
}
}
// 后序遍历
public void postorderTraversal(Node node) {
if (node != null) {
postorderTraversal(node.left);
postorderTraversal(node.right);
System.out.print(node.key + " ");
}
}
public static void main(String[] args) {
BinaryTree tree = new BinaryTree();
// 插入节点
tree.insert(50);
tree.insert(30);
tree.insert(20);
tree.insert(40);
tree.insert(70);
tree.insert(60);
tree.insert(80);
// 删除节点
tree.delete(20);
// 搜索节点
Node searchNode = tree.search(tree.root, 40);
if (searchNode != null)
System.out.println("节点 40 找到了");
else
System.out.println("节点 40 未找到");
// 遍历二叉树
System.out.println("前序遍历：");
tree.preorderTraversal(tree.root);
System.out.println("\n中序遍历：");
tree.inorderTraversal(tree.root);
System.out.println("\n后序遍历：");
tree.postorderTraversal(tree.root);
}
}