最短路计数

题目描述

给出一个 N N N 个顶点 M M M 条边的无向无权图，顶点编号为 1 ∼ N 1\sim N 1∼N。问从顶点 1 1 1 开始，到其他每个点的最短路有几条。

输入格式

第一行包含 2 2 2 个正整数 N , M N,M N,M，为图的顶点数与边数。

接下来 M M M 行，每行 2 2 2 个正整数 x , y x,y x,y，表示有一条由顶点 x x x 连向顶点 y y y 的边，请注意可能有自环与重边。

输出格式

共 N N N 行，每行一个非负整数，第 i i i 行输出从顶点 1 1 1 到顶点 i i i 有多少条不同的最短路，由于答案有可能会很大，你只需要输出 $ ans \bmod 100003$ 后的结果即可。如果无法到达顶点 i i i 则输出 0 0 0。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

提示

1 1 1 到 5 5 5 的最短路有 4 4 4 条，分别为 2 2 2 条 1 → 2 → 4 → 5 1\to 2\to 4\to 5 1→2→4→5 和 2 2 2 条 1 → 3 → 4 → 5 1\to 3\to 4\to 5 1→3→4→5（由于 4 → 5 4\to 5 4→5 的边有 2 2 2 条）。

对于 20 % 20\% 20% 的数据， 1 ≤ N ≤ 100 1\le N \le 100 1≤N≤100；

对于 60 % 60\% 60% 的数据， 1 ≤ N ≤ 1 0 3 1\le N \le 10^3 1≤N≤103；

对于 100 % 100\% 100% 的数据， 1 ≤ N ≤ 1 0 6 1\le N\le10^6 1≤N≤106， 1 ≤ M ≤ 2 × 1 0 6 1\le M\le 2\times 10^6 1≤M≤2×106。

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define il inline
const int MAXN=2e6+5;
const int MOD=100003;
int n,m;
int dis[MAXN],cnt[MAXN];
bool vis[MAXN];
queue<int> q;
vector<int> nextpoints[MAXN];

//bfs
il void bfs()
{
	memset(dis,0x3f3f,sizeof(dis));//初始化
	dis[1]=0;cnt[1]=1;vis[1]=1;
	q.push(1);
	while(!q.empty())//广搜
	{
		int x=q.front();q.pop();
		for(auto y:nextpoints[x])
		{
			
			if(!vis[y])
			{
				if(dis[x]+1<dis[y])
				{
					dis[y]=dis[x]+1;
					vis[y]=true;
					q.push(y);
				}//打标记，存更优
			}
			if(dis[x]+1==dis[y])
			{
				cnt[y]+=cnt[x];
				cnt[y]%=MOD;
			}
		}	
	}
	return;
}
// 

int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		nextpoints[u].push_back(v);
		nextpoints[v].push_back(u);
	}
	bfs();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cout<<cnt[i]<<endl;//输出答案
	return 0;
}

ps:

单源最短路问题：

1.可以bfs的同时用cnt记录1~i的最短路径条数

2.假设存在一条 𝑖 → 𝑗 的边。
若 d i s i + 1 < d i s j ，就令 d i s j = d i s i + 1 ， c n t j = c n t i ；若dis_i+1<dis_j，就令dis_j=dis_i+1，cnt_j=cnt_i；若disi+1<disj，就令disj=disi+1，cntj=cnti；
若 d i s i + 1 = d i s j ，就令 c n t j + = c n t i 若dis_i+1=dis_j，就令cnt_j+=cnt_i 若disi+1=disj，就令cntj+=cnti

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