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1 马尔可夫模型
马尔可夫模型(Markov Model, MM)是一种统计模型，广泛应用在自然语言处理等领域中。
1.1 数学定义
考虑一组随机变量序列 X = { X 0 , X 1 , ... , X t , ... } X=\{X_{0},X_{1},\dots,X_{t},\dots\} X={X0,X1,...,Xt,...},其中 X t X_{t} Xt表示时刻 t t t的随机变量，并且每个随机变量 X t X_{t} Xt的取值集合相同，称为状态空间 S S S。 S S S可以是离散的，也可以是连续的。
假设在时刻 0 0 0的随机变量 X 0 X_{0} X0遵循概率分布 P ( X 0 ) = π ( 0 ) P(X_{0})=\pi(0) P(X0)=π(0), 即为初始状态分布。若某个时刻 t ≥ 1 t\ge1 t≥1的随机变量 X t X_{t} Xt与前一个时刻的随机变量 X t − 1 X_{t-1} Xt−1之间有条件分布 F ( X t ∣ X t − 1 ) F(X_{t}|X_{t-1}) F(Xt∣Xt−1)，并且 X t X_{t} Xt只依赖于 X t − 1 X_{t-1} Xt−1，而不依赖于过去的随机变量 ( X 0 , X 1 , ... , X t − 2 ) (X_{0},X_{1},\dots,X_{t-2}) (X0,X1,...,Xt−2)，则 X X X具有马尔可夫性质，称为马尔科夫链。即 P ( X t ∣ X 0 , X 1 , ... , X t − 1 ) = P ( X t ∣ X t − 1 ) , t = 1 , 2 , ... P(X_{t}|X_{0},X_{1},\dots,X_{t-1})=P(X_{t}|X_{t-1}),t=1,2,\dots P(Xt∣X0,X1,...,Xt−1)=P(Xt∣Xt−1),t=1,2,...其中， P ( X t ∣ X t − 1 ) P(X_{t}|X_{t-1}) P(Xt∣Xt−1)称为马尔科夫链的转移概率分布。
另外，若条件转移概率分布与时间 t t t无关，则称为时间齐次的马尔可夫链。即 P ( X t + s ∣ X t + s − 1 ) = P ( X t ∣ X t + 1 ) P(X_{t+s}|X_{t+s-1})=P(X_{t}|X_{t+1}) P(Xt+s∣Xt+s−1)=P(Xt∣Xt+1) 若某个时刻 t ≥ 1 t\ge1 t≥1的随机变量 X t X_{t} Xt与前 n n n个状态相关，则称为 n n n阶马尔可夫链。即 P ( X t ∣ X 0 ... X t − 1 ) = P ( X t ∣ X t − n X t − n + 1 ... X t − 1 ) P(X_{t}|X_{0}\dots X_{t-1})=P(X_{t}|X_{t-n}X_{t-n+1}\dots X_{t-1}) P(Xt∣X0...Xt−1)=P(Xt∣Xt−nXt−n+1...Xt−1)
除了马尔可夫性外，马尔可夫链还可能具有不可约性、常返性、周期性和遍历性。
1.2 两种马尔可夫链
1.2.1 离散马尔可夫链
如果上述随机变量 X t ( t = 0 , 1 , 2 , ... , ) X_{t}(t=0,1,2,\dots,) Xt(t=0,1,2,...,)是定义在离散空间 S S S中，则称为离散马尔可夫链，其转移概率分布可以用矩阵表示。若 S = { 1 , 2 , ... , n } S=\{1,2,\dots,n\} S={1,2,...,n}则转移概率分布矩阵为： P = p 11 p 12 ... p 1 n p 21 p 22 ... p 2 n ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ p n 1 p n 2 ... p n n (1) P=\begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} & \dots & p_{1n} \\ p_{21} & p_{22} & \dots & p_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ p_{n1} & p_{n2} & \dots & p_{nn} \end{bmatrix} \tag{1} P= p11p21⋮pn1p12p22⋮pn2......⋯...p1np2n⋮pnn (1)其中 p i j = P ( X t = i ∣ X t − 1 = j ) p_{ij}=P(X_{t}=i|X_{t-1}=j) pij=P(Xt=i∣Xt−1=j)为马尔可夫链在 t − 1 t-1 t−1时刻从状态 j j j转移到时刻 t t t的状态 i i i的概率。 p i j ≥ 0 p_{ij} \ge 0 pij≥0且 ∑ i p i j = 1 \sum_{i}p_{ij}=1 ∑ipij=1。
马尔可夫链在任意时刻 t t t的状态分布，可以由在时刻 t − 1 t-1 t−1的状态分布及转移概率分布决定，即 π ( t ) = P π ( t − 1 ) = P ⋅ P π ( t − 2 ) \pi(t)=P\pi(t-1)=P\cdot P\pi(t-2) π(t)=Pπ(t−1)=P⋅Pπ(t−2)。依次类推 π ( t ) = P t π ( 0 ) \pi(t)=P^{t}\pi(0) π(t)=Ptπ(0)
1.2.2 连续马尔可夫链
如果状态空间 S S S定义在连续空间，则序列 X X X称为连续马尔可夫链。则转移概率分布由概率转移核函数来表示。对任意的 x ∈ S , A ∈ S ) x\in S, A\in S) x∈S,A∈S), 转移概率 P ( x , A ) = ∫ A p ( x , y ) d y P(x,A)=\int_{A} p(x,y)dy P(x,A)=∫Ap(x,y)dy
参考资料
- 《统计学习方法》