【学习笔记】[SDOI2017] 硬币游戏

抽象😅

我忍不了了，直接上概率生成函数😅

首先要做过这道题 $CTSC2006$ 歌唱王国

设 F i ( x ) = ∑ f j x j F_i(x)=\sum f_jx^j Fi(x)=∑fjxj，其中 f j f_j fj表示 ∣ T ∣ = j |T|=j ∣T∣=j时第 i i i个人获胜的概率

设 G ( x ) = ∑ g j x j G(x)=\sum g_jx^j G(x)=∑gjxj，其中 g j g_j gj表示 ∣ T ∣ = i |T|=i ∣T∣=i时无人获胜概率

对于 i i i，有方程：

F i ( x ) = G ( x ) × x m × 1 2 m − ∑ F j ( x ) × tran ( j , i ) F_i(x)=G(x)\times x^m\times \frac{1}{2^m}-\sum F_j(x)\times \text{tran}(j,i) Fi(x)=G(x)×xm×2m1−∑Fj(x)×tran(j,i)

注意到还有一条方程： G ( x ) = x G ( x ) − ∑ F i ( x ) + 1 G(x)=xG(x)-\sum F_i(x)+1 G(x)=xG(x)−∑Fi(x)+1

考虑这个算法的本质🤔 注意到 G ( 1 ) G(1) G(1)其实就是停下来时 ∣ T ∣ |T| ∣T∣的期望

这样有 n + 1 n+1 n+1个未知数， n + 1 n+1 n+1个方程，直接高斯消元即可。

复杂度 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)。

remark \text{remark} remark 感觉生成函数没有白学！

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
#define pb push_abck
#define fi first
#define se second
#define db double
#define ll long long
#define ull unsigned long long
using namespace std;
const int P=13331;
int n,m;
string str[305];
db a[505][505];
db fac2[505];
ull fac[305],h[305][305];
ull get(int i,int l,int r){
    return (h[i][r]-h[i][l-1])*fac[m-l];
}
void solve(){
    for(int i=1;i<=n+1;i++){
        for(int j=1;j<=n+1;j++){
            if(i!=j){
                db tmp=a[j][i]/a[i][i];
                for(int k=i;k<=n+2;k++)a[j][k]-=a[i][k]*tmp;
            }
        }
    }
}
int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>str[i];
    fac[0]=1;for(int i=1;i<=m;i++)fac[i]=fac[i-1]*P;
    fac2[0]=1;for(int i=1;i<=m;i++)fac2[i]=fac2[i-1]/2;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++)h[i][j]=h[i][j-1]+str[i][j-1]*fac[j];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            for(int k=1;k<m;k++){
                if(get(i,k+1,m)==get(j,1,m-k)){
                    a[j][i]+=fac2[k];
                }
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i][i]+=1,a[i][n+1]=-fac2[m];
    for(int i=1;i<=n;i++)a[n+1][i]=1;a[n+1][n+2]=1;
    solve();
    for(int i=1;i<=n+1;i++)cout<<fixed<<setprecision(10)<<a[i][n+2]/a[i][i]<<"\n";
}