【剑指 の 精选】热门状态机 DP 运用题

题目描述

这是 LeetCode 上的 剑指 Offer II 091. 粉刷房子 ，难度为 中等。

Tag : 「状态机 DP」、「动态规划」

假如有一排房子，共 n 个，每个房子可以被粉刷成红色、蓝色或者绿色这三种颜色中的一种，你需要粉刷所有的房子并且使其相邻的两个房子颜色不能相同。

当然，因为市场上不同颜色油漆的价格不同，所以房子粉刷成不同颜色的花费成本也是不同的。每个房子粉刷成不同颜色的花费是以一个 n x 3 的正整数矩阵 costs 来表示的。

例如，costs[0][0] 表示第 $0\; 0$0 号房子粉刷成红色的成本花费；costs[1][2] 表示第 $1\; 1$1 号房子粉刷成绿色的花费，以此类推。

请计算出粉刷完所有房子最少的花费成本。

示例 1：

输入: costs = [[17,2,17],[16,16,5],[14,3,19]]

输出: 10

解释: 将 0 号房子粉刷成蓝色，1 号房子粉刷成绿色，2 号房子粉刷成蓝色。
最少花费: 2 + 5 + 3 = 10。

示例 2：

输入: costs = [[7,6,2]]

输出: 2

提示:

• $c\; o\; s\; t\; s\; .\; l\; e\; n\; g\; t\; h\; =\; =\; n\; costs.length\; ==\; n$costs.length==n
• $c\; o\; s\; t\; s$ i . l e n g t h = = 3 costsi.length == 3 costsi.length==3
• 1<=n<=100
• i j < = 20 1 <= costsij <= 20 1<=costsij<=20

状态机 DP

为了方便，我们记 costs 为 cs。

根据题意，当我们从前往后决策每间房子的颜色时，当前房子所能刷的颜色，取决于上一间房子的颜色。

我们可以定义 $f$ i j fij fij 为考虑下标不超过 $i\; i$i 的房子，且最后一间房子颜色为 $j\; j$j 时的最小成本。

起始我们有 $f$ 0 i = c s 0 i f0i = cs0i f0i=cs0i，代表只有第一间房子时，对应成本为第一间房子的上色成本。

然后不失一般性考虑， $f$ i j fij fij 该如何计算： $f$ i j fij fij 为所有 $f$ i − 1 p r e v fi - 1prev fi−1prev（其中 $p\; r\; e\; v\; \ne \; j\; prev\; \backslash neq\; j$prev=j）中的最小值加上 $c\; s$ i j csij csij。

本质上这是一道「状态机 DP」问题：某些状态只能由规则限定的状态所转移，通常我们可以从 $f$ i j fij fij 能够更新哪些目标状态（后继状态）进行转移，也能够从 $f$ i j fij fij 依赖哪些前置状态（前驱状态）来转移。

一些细节：考虑到我们 $f$ i X fiX fiX 的计算只依赖于 $f$ i − 1 X fi - 1X fi−1X，因此我们可以使用三个变量来代替我们的动规数组。

Java 代码：

class Solution {
    public int minCost(int[][] cs) {
        int n = cs.length;
        int a = cs[0][0], b = cs[0][1], c = cs[0][2];
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            int d = Math.min(b, c) + cs[i][0];
            int e = Math.min(a, c) + cs[i][1];
            int f = Math.min(a, b) + cs[i][2];
            a = d; b = e; c = f;
        }
        return Math.min(a, Math.min(b, c));
    }
}

Java 代码：

class Solution {
    public int minCost(int[][] cs) {
        int n = cs.length;
        int a = cs[0][0], b = cs[0][1], c = cs[0][2];
        for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
            int d = Math.min(b, c) + cs[i + 1][0];
            int e = Math.min(a, c) + cs[i + 1][1];
            int f = Math.min(a, b) + cs[i + 1][2];
            a = d; b = e; c = f;
        }
        return Math.min(a, Math.min(b, c));
    }
}

• 时间复杂度： $O\; (\; n\; \times \; C\; )\; O(n\; \backslash times\; C)$O(n×C)，其中 $C\; =\; 3\; C\; =\; 3$C=3 为颜色数量
• 空间复杂度： $O\; (\; 1\; )\; O(1)$O(1)

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 剑指 Offer II 091 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：github.com/SharingSour... 。

在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。

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