⌈算法进阶⌋图论::并查集——快速理解到熟练运用

Dusong_2023-08-13 17:54

目录

一、原理

[1. 初始化Init](#1. 初始化Init)

[2. 查询 find](#2. 查询 find)

[3. 合并 union](#3. 合并 union)

二、代码模板

三、练习

[1、 990.等式方程的可满足性🟢](#1、 990.等式方程的可满足性🟢)

[2、 1061. 按字典序排列最小的等效字符串🟢](#2、 1061. 按字典序排列最小的等效字符串🟢)

[3、721.账户合并 🟡](#3、721.账户合并 🟡)

[4、 839.相似字符串组🟡](#4、 839.相似字符串组🟡)

[5、 2812.找出最安全路径 🔴](#5、 2812.找出最安全路径 🔴)

一、原理

并查集主要运用与求一些不相交且有关联的集合的合并，这一点我们从后面的例题中进一步理解，我们首先掌握并查集的原理和运用

并查集的主要操作有：

1. 初始化Init

我们将每个数据看作一个树的节点，初始化每个节点指针指向自己

我们用一个数组fa[]的下标index表示节点， 用fa[index]表示该节点的根节点；

2. 查询 find

查询一个节点的根节点，以用于其他操作；

如上图， 若要查询数据3所在的集合的根节点，想做图这样的链接方式每次查询需要O(n)的时间，我们需要在查询时将树的结构转换成右图所示，这样之后的每次查询时间复杂度为O(logn)

3. 合并 union

实现两个集合的合并，可以抽象成两颗树的合并，即将两颗树的根节点相连；

二、代码模板

cpp 复制代码 
//初始化
vector<int> fa(n* n);
iota(fa.begin(), fa.end(), 0);
 

 //查询
function<int(int)> find = [&](int x) -> int { return x == fa[x] ? x : fa[x] = find(fa[x]); };  


 //合并
fa[find(x)] = find(y);

三、练习

1、 990.等式方程的可满足性🟢

给定一个由表示变量之间关系的字符串方程组成的数组，每个字符串方程 equations[i] 的长度为 4，并采用两种不同的形式之一："a==b" 或 "a!=b"。在这里，a 和 b 是小写字母（不一定不同），表示单字母变量名。

只有当可以将整数分配给变量名，以便满足所有给定的方程时才返回 true，否则返回 false。

解题思路：合并等式方程两侧字母，运用并查集管理相等字母集合

cpp 复制代码 
class Solution {
public:
    bool equationsPossible(vector<string>& equations) {
        //初始化
        vector<int> fa(26);
        iota(fa.begin(), fa.end(), 0);
        //查询
        function<int(int)> find = [&](int x) -> int { return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]); };

        for (auto s : equations) {
            if (s[1] == '=') {
                int x = s[0] - 97, y = s[3] - 97;
                fa[find(x)] = find(y);   //相等则合并
            }
        }
        for (auto s : equations) {
            int x = s[0] - 97, y = s[3] - 97;
            if (s[1] == '!' && find(x) == find(y)) return false;   //矛盾，返回false
        }
        return true;
    }
};

2、 1061. 按字典序排列最小的等效字符串🟢

给出长度相同的两个字符串s1 和 s2 ，还有一个字符串 baseStr 。

其中 s1[i] 和 s2[i] 是一组等价字符。

  • 举个例子，如果 s1 = "abc" 且 s2 = "cde"，那么就有 'a' == 'c', 'b' == 'd', 'c' == 'e'。

等价字符遵循任何等价关系的一般规则：

  • 自反性 ：'a' == 'a'
  • 对称性 ：'a' == 'b' 则必定有 'b' == 'a'
  • 传递性 ：'a' == 'b' 且 'b' == 'c' 就表明 'a' == 'c'

例如， s1 = "abc" 和 s2 = "cde" 的等价信息和之前的例子一样，那么 baseStr = "eed" , "acd" 或 "aab"，这三个字符串都是等价的，而 "aab" 是 baseStr 的按字典序最小的等价字符串

利用s1 和 s2 的等价信息，找出并返回baseStr的按字典序排列最小的等价字符串。

解题思路：由等价关系可以一眼看出这道题使用并查集，s1与s2对应字母放入一个集合(即将其合并)，最终找到baseStr每个字母对应的集合中的最小字典序字母

cpp 复制代码 
class Solution {
public:
    string smallestEquivalentString(string s1, string s2, string baseStr) {
        //初始化
        vector<int> fa(26);
        iota(fa.begin(), fa.end(), 0);
        //查询
        function<int(int)> find = [&](int x) -> int { return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]); };

        for (int i = 0; i < s1.size(); i++) {
            int x = s1[i] - 97, y = s2[i] - 97;
            fa[find(y)] = find(x);   //合并
        }

        unordered_map<int, set<char>> g;   //统计以根节点代表的一个集合中的所有节点
        for (int i = 0; i < 26; i++) {
            g[find(i)].insert(i + 97);
        }
        
        for (int i = 0; i < baseStr.size(); i++) {
            //利用set默认排升序的特点，找到baseStr[i]的根节点的集合中的最小字母
            baseStr[i] = *(g[find(baseStr[i] - 97)].begin());   
        }
        return baseStr;
    }   
};

3、721.账户合并🟡

给定一个列表 accounts，每个元素 accounts[i] 是一个字符串列表，其中第一个元素 accounts[i][0] 是 名称 (name) ，其余元素是 emails表示该账户的邮箱地址。

现在，我们想合并这些账户。如果两个账户都有一些共同的邮箱地址，则两个账户必定属于同一个人。请注意，即使两个账户具有相同的名称，它们也可能属于不同的人，因为人们可能具有相同的名称。一个人最初可以拥有任意数量的账户，但其所有账户都具有相同的名称。

合并账户后，按以下格式返回账户：每个账户的第一个元素是名称，其余元素是 按字符 ASCII 顺序排列 的邮箱地址。账户本身可以以 任意顺序 返回。

解题思路：根据题意，拥有相同邮箱的账户为同一人，最终需要将相同用户的邮箱合并到一起，同样也是一眼并查集，但是代码实现起来可能有些复杂；首先需要遍历所有邮箱，判断是否有重复，将拥有同一邮箱的用户合并，需要特别注意的是，用户名相同不代表是同一人，最终将属于同一集合的用户邮箱用set去重，返回结果；

cpp 复制代码 
class Solution {
public:
    vector<vector<string>> accountsMerge(vector<vector<string>>& accounts) {
        int n = accounts.size();
        //以accounts的下标[0, n)作为用户名字，方便以下标寻找父亲
        vector<int> fa(n);
        iota(fa.begin(), fa.end(), 0);    //初始化
        function<int(int)> find = [&](int i) -> int { return fa[i] == i ? i : fa[i] = find(fa[i]); };
        //key:邮箱  val:名字
        unordered_map<string, vector<int>> email_name;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 1; j < accounts[i].size(); j++) {    //遍历每个账户的所有邮箱
                email_name[accounts[i][j]].push_back(i);
                //如果同一个邮箱出现多个名字，那么认为为同一个人，此时连接
                if (email_name[accounts[i][j]].size() > 1) {
                    fa[find(email_name[accounts[i][j]][0])] = find(i);   //合并
                }
            }
        }
        
        //之前尝试用map,但是同一个名字可能不是同一人，所以map行不通
        //用set去重
        vector<set<string>> g(n);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int f = find(i);   //找到根节点，将邮箱插入到根节点的数组中
            for (int j = 1; j < accounts[i].size(); j++) {
                g[f].insert(accounts[i][j]);    
            }
        }
        vector<vector<string>> ans;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (g[i].size() != 0) {    
                vector<string> tmp = {g[i].begin(), g[i].end()};  //将set转vector
                tmp.insert(tmp.begin(), accounts[i][0]);   //头插名字
                ans.push_back(tmp);
            }
        }
        return ans;
    }
};

4、 839.相似字符串组🟡

如果交换字符串 X 中的两个不同位置的字母，使得它和字符串 Y 相等，那么称 X 和 Y 两个字符串相似。如果这两个字符串本身是相等的，那它们也是相似的。

例如，"tars" 和 "rats" 是相似的 (交换 0 与 2 的位置)； "rats" 和 "arts" 也是相似的，但是 "star" 不与 "tars"，"rats"，或 "arts" 相似。

总之，它们通过相似性形成了两个关联组：{"tars", "rats", "arts"} 和 {"star"}。注意，"tars" 和 "arts" 是在同一组中，即使它们并不相似。形式上，对每个组而言，要确定一个单词在组中，只需要这个词和该组中至少一个单词相似。

给你一个字符串列表 strs。列表中的每个字符串都是 strs 中其它所有字符串的一个字母异位词。请问 strs 中有多少个相似字符串组？

解题思路：暴力遍历+dfs查询相似字符串，将相似字符串合并，最终返回集合个数

cpp 复制代码 
class Solution {
public:
    int numSimilarGroups(vector<string>& strs) {
        int n = strs.size();
        //初始化
        vector<int> fa(n);
        iota(fa.begin(), fa.end(), 0);
        //查询
        function<int(int)> find = [&](int x) -> int { return x == fa[x] ? x : fa[x] = find(fa[x]); };   
        int vis[n];
        memset(vis, 0, sizeof(vis));
        //dfs
        function<void(int)> is_same = [&](int i) -> void {
            vis[i] = true;
            string& s1 = strs[i];
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (!vis[j]) {
                    string& s2 = strs[j];
                    if (s1 == s2) {    //相同字符串相似，直接合并
                        fa[find(j)] = fa[i];
                        is_same(j);
                    } else {
                        int dif = 0;
                        for (int k = 0; k < s1.size(); k++) {
                            if (s1[k] != s2[k]) dif++;
                            if (dif > 2) break;
                        }
                        if (dif == 2) {         //恰有两个位置字符不同则相似，合并
                            fa[find(j)] = fa[i];
                            is_same(j);
                        }
                    }
                }
            }
        };
        //dfs入口
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if(!vis[i]) is_same(i);
        }
        //用set去重，返回集合个数
        set<int> ans;
        for (int i = 0; i < n; i++) ans.insert(find(i));   //将根节点插入set中
        return ans.size();
    }
};

5、 2812.找出最安全路径🔴

给你一个下标从 0 开始、大小为 n x n 的二维矩阵 grid ，其中 (r, c) 表示：

  • 如果 grid[r][c] = 1 ，则表示一个存在小偷的单元格
  • 如果 grid[r][c] = 0 ，则表示一个空单元格

你最开始位于单元格 (0, 0) 。在一步移动中，你可以移动到矩阵中的任一相邻单元格，包括存在小偷的单元格。

矩阵中路径的 安全系数 定义为：从路径中任一单元格到矩阵中任一小偷所在单元格的 最小 曼哈顿距离。

返回所有通向单元格(n - 1, n - 1) 的路径中的 最大安全系数 。

单元格 (r, c) 的某个 相邻 单元格，是指在矩阵中存在的 (r, c + 1)、(r, c - 1)、(r + 1, c) 和 (r - 1, c) 之一。

两个单元格 (a, b) 和 (x, y) 之间的 曼哈顿距离 等于 | a - x | + | b - y | ，其中 |val| 表示 val 的绝对值。

解题思路：由题，求从左上角到右下角路径中的最小安全系数的最大值：倒序枚举答案(安全系数)， 将>=当前安全系数的坐标用并查集相连(合并)，一次循环结束判断左上角与右下角是否相连

cpp 复制代码 
class Solution {
public:
    static constexpr int dirs[5] = {1, 0, -1, 0, 1};
    int maximumSafenessFactor(vector<vector<int>>& grid) {
        int n = grid.size();
        vector<pair<int, int>> q;
        vector<vector<int>> dis(n, vector<int>(n, -1));
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0;j < n; j++) {
                if(grid[i][j] == 1) {
                    q.push_back({i, j});
                    dis[i][j] = 0;
                }
               
            }
        }
        //bfs求每个点安全系数，及不同安全系数的值的下标（用于后续并查集的合并）
        vector<vector<pair<int, int>>> groups = {q};
        while (!q.empty()) {
            int safe = groups.size();
            vector<pair<int, int>> tmp;
            for (auto &[i, j] : q) {
                for (int k = 0; k < 4; k++) {
                    int x = i + dirs[k], y = j + dirs[k + 1];
                    if (x >= 0 && x < n && y >= 0 && y < n && dis[x][y] < 0) {
                        dis[x][y] = safe;
                        tmp.push_back({x, y});
                    }
                }
            }
            if (tmp.size() > 0)groups.push_back(tmp);
            q = move(tmp);
        }
        //初始化
        vector<int> fa(n*n);
        for (int i = 0; i < n * n; i++) fa[i] = i;
        //查询
        function<int(int)> find = [&](int x) -> int { return x == fa[x] ? x : fa[x] = find(fa[x]); };
        for (int ans = groups.size() - 1; ans > 0; ans--) {
            for (auto& [i, j] : groups[ans]) {
                for (int k = 0; k < 4; k++) {
                    int x = i + dirs[k], y = j + dirs[k + 1];
                    if (x >= 0 && x < n && y >= 0 && y < n && dis[x][y] >= dis[i][j]) 
                        fa[find(x * n + y)] = find(i * n + j);  //合并
                }
            }
            if (find(0) == find((n - 1) * n + n - 1)) return ans;   //相通则返回答案
        }
        return 0;
    }
};
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