【2023 华数杯全国大学生数学建模竞赛】 A题 隔热材料的结构优化控制研究 问题分析及完整论文
1 题目
A 题 隔热材料的结构优化控制研究
新型隔热材料 A 具有优良的隔热特性，在航天、军工、石化、建筑、交通等高科技领域中有着广泛的应用。
目前，由单根隔热材料 A 纤维编织成的织物，其热导率可以直接测出；但是单根隔热材料 A 纤维的热导率（本题实验环境下可假定其为定值），因其直径过小，长径比（长度与直径的比值）较大，无法直接测量。单根纤维导热性能是织物导热性能的基础，也是建立基于纤维的各种织物导热模型的基础。建立一个单根隔热材料 A 纤维的热导率与织物整体热导率的传热机理模型成为研究重点。该模型不仅能得到单根隔热材料 A 纤维的热导率，解决当前单根 A 纤维热导率无法测量的技术难题；而且在建立的单根隔热材料 A 纤维热导率与织物热导率的关系模型的基础上，调控织物的编织结构，进行优化设计，能制作出更好的满足在航天、军工、石化、建筑、交通等高科技领域需求的优异隔热性能织物。
织物是由大量单根纤维堆叠交织在一起形成的网状结构，本题只研究平纹织物，如图 1 和图 2 所示。不同直径纤维制成的织物，其基础结构参数不同，即纤维弯曲角度、织物厚度、经密、纬密等不同，从而影响织物的导热性能。本题， 假设任意单根 A 纤维的垂直切面为圆形，织物中每根纤维始终为一个有弯曲的圆柱。经纱、纬纱弯曲角度 10° < θ \theta θ≤ 26.565°。
热导率是纤维和织物物理性质中最重要的指标之一。织物的纤维之间存在空隙，空隙里空气为静态空气，静态空气热导率 0.0296 W/(mK)。计算织物热导率时既考虑纤维之间的传热，也不能忽略空隙中空气的传热。
图 1. 平纹织物截面示意图
图 2. 平纹织物三维图
在 25℃实验室环境下，用 Hotdisk 装置对织物进行加热和测量，Hotdisk 恒定功率为 1mW，作用时间 1s，在 0.1s 时热流恰好传递到织物另一侧。实验测得 0~0.1s 之间织物位于热源一侧的温度随时间变化的数据见附件1，如下。
附件1 温度随时间变化的数据
| 时刻（s） | 温度（℃） |
|---|---|
| 0 | 25.000 |
| 0.02 | 25.575 |
| 0.04 | 25.693 |
| 0.06 | 25.807 |
| 0.08 | 25.896 |
| 0.10 | 25.971 |
实验样品参数：
单根A纤维的直径d=0.6mm，织物的厚度h=2d，经密为 ρ s = 60 根 / 10 c m \rho_s = 60根/10cm ρs=60根/10cm，纬密为 ρ w = 80 根 / 10 c m \rho_w =80根/10cm ρw=80根/10cm，经纱弯曲角度 θ s = 19.8 度 \theta_s = 19.8度 θs=19.8度、纬纱弯曲角度 θ w = 25.64 度 \theta_w = 25.64度 θw=25.64度，织物整体的比热为 0.05 M J / m 3 K 0.05MJ/m^3K 0.05MJ/m3K，织物整体热扩散率为 0.663 m m 2 / s 0.663mm^2/s 0.663mm2/s。
请建立数学模型，回答下列问题:
问题 1：假设附件1的温度为热源侧织物的表面温度，只考虑纤维传热和空隙间的气体传热，建立平纹织物整体热导率与单根纤维热导率之间关系的数学模型。在附件 2 的实验样品参数条件下，测得如图 2 所示的平纹织物的整体热导率为 0.033W/(mK)，请根据建立的数学模型计算出单根 A 纤维的热导率。
问题 2：假设：1）制成织物的任意单根 A 纤维的直径在 0.3 ~0.6 。2）织物位于热源一侧表面温度随时间的变化的数据依旧参考表 1。3）由于温度和织物结构造成的织物整体密度和比热的变化可以忽略。请问如何选用单根 A 纤维的直径及调整织物的经密、纬密、弯曲角度，使得织物的整体热导率最低。
问题 3：如果附件 1 的温度实际是热源侧织物表面空气的温度，此时该侧就会发生对流换热，假定织物表面的对流换热系数为 50 W/(m2K)，请重新解答问题一和问题二。
2 问题分析
2.1 问题一
这个题是求解单根纤维的热导率。首先对于平纹织物整体的传热机理，考虑纤维传热和空隙中气体传热两部分，可以通过建立织物宏观热导率与纤维热导率的关系模型来求解单根纤维的热导率。其次，纤维的形态为圆柱形，由斯托克斯方程和能量方程得到纤维内部的流场、温度场分布以及纤维表面和空气介质之间传热的热阻，进而求得单根纤维的热导率。最后，织物整体的热导率可以通过实验数据和热传导方程计算得出，同时可以用该结果反推出单根纤维的热导率。
要用的数学模型有：
-
斯特克斯方程和能量方程。
-
圆柱坐标系下的热传导方程和边界条件。
-
非线性最小二乘法模型拟合分析。
-
由热传导方程和实验数据求解织物整体热导率的一维热传导问题。
2.2 问题二
这个题是分析如何选用单根A纤维的直径以及如何调整织物的经密、纬密、弯曲角度来使织物的整体热导率最低。首先，需要理解织物的热传导过程。织物的热传导一般可以看作是通过纤维之间的热传递而实现的。因此，需要考虑纤维的热传导性能对织物整体热导率的影响。其次，直径对于纤维的热传导性能具有影响。一般来说，直径越大，纤维之间的热传导能力越差，导致整体热导率降低。反之，直径越小，纤维之间的热传导能力越好，导致整体热导率增加。此外，经密、纬密以及弯曲角度也会影响织物的整体热导率。通过调整经密、纬密以及弯曲角度，可以改变纤维之间的接触面积和接触长度，从而影响热传导的效果。
要用的数学模型有：
- 热传导模型来描述纤维间的热传导过程。比如热传导方程（Fourier热传导定律），其中考虑纤维的直径和热导率等参数。
- 密度和比热的改变对热传导的影响进行简化处理。
- 最后采用有限差分或有限元方法对热传导模型进行求解，最后求解得织物的整体热导率。
2.3 问题三
考虑了对流换热，则织物表面的温度不再是单纯的纤维和空气的热阻相加，还考虑了对流传热的影响。此时可以建立织物整体热导率、纤维热导率、织物表面的对流传热系数之间的关系模型。首先，流体力学方程和热传导方程可以得到表面温度和流场、温度场的分布。其次，将得到的表面温度和纤维的热阻、空气介质的热阻以及对流传热系数相加得到织物整体的热阻，进而求解整体热导率。最后，使用实验得到的整体热导率以及已知的织物、纤维等参数反推出单根纤维的热导率。
2.4 问题四
考虑到热源侧表面空气的对流换热，需要重新定义织物的热传导模型，并通过数学模型来考虑对流传热的影响。此时，织物的热传导主要有两个部分：纤维之间的热传导和织物表面空气的对流传热。由于问题2中涉及到各个因素对于整体热导率的影响，可以使用多元函数优化来寻找最优解。建立多元函数优化模型的话，将织物的整体热导率作为目标函数，进而通过调整单根A纤维直径、经密、纬密以及弯曲角度来寻找最优解。目标函数中，织物的热传导可以使用热传导方程进行描述；而对流传热可以使用牛顿冷却定律进行描述，其中对流传热系数为50 W/(m2K)。
3 论文介绍
题目：隔热材料的结构优化控制研究
关键词：热传导 对流 隔热材料 结构优化控制
摘要：
本文主要研究平面织物的导热问题，通过对织物的各种参数的优化，得到隔热能力更强的织物，隔热能力强的织物在航空航天方向有着很普遍的应用。同时隔热能力强的织物导电能力也比较弱，可以应用在绝缘服，绝缘手套等各方面，有很高的应用性。
针对问题1：我们利用傅里叶热传导方程，建立数学模型，将圆柱形的单根纤维简化成同体积方柱形，通过热阻模型结合已经测的空气热导率和织物整体热导率，求得单根纤维的热导率为0.03627 W/(mK)。
针对问题2：由问题1求出的单根纤维的热导率，我们再通过对模型的直径、经密，纬密、弯曲角度进行优化，我们可以得到最优解为最密织，纤维直径为0.3752mm，获得隔热性能最好的织物。
针对问题3：由于对流对于热量的传递有很大的影响，因此我们有必要将对流加入到我们的模型中，通过建立新的模型，我们求出单根纤维的热导率为0.0245 W/(mK)，同时我们可以优化纤维的参数，我们可以得到隔热系数最好的织物参数。引入对流使得织物热传递的模型更加完善，可以计算出更加准确的织物参数，这对于织物各项参数的优化有着更加重要的作用。
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