307 . 区域和检索 - 数组可修改
区间和解题思路
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这是一道很经典的题目，通常还能拓展出一大类问题。
针对不同的题目，我们有不同的方案可以选择（假设我们有一个数组）：
- 数组不变，求区间和：「前缀和」、「树状数组」、「线段树」
- 多次修改某个数（单点），求区间和：「树状数组」、「线段树」
- 多次修改某个区间，输出最终结果：「差分」
- 多次修改某个区间，求区间和：「线段树」、「树状数组」（看修改区间范围大小）
- 多次将某个区间变成同一个数，求区间和：「线段树」、「树状数组」（看修改区间范围大小）
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这样看来，「线段树」能解决的问题是最多的，那我们是不是无论什么情况都写「线段树」呢？
答案并不是，而且恰好相反，只有在遇到第 4 类问题，不得不写「线段树」的时候，我们才考虑线段树。因为「线段树」代码很长，而且常数很大，实际表现不算很好。我们只有在不得不用的时候才考虑「线段树」。
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总结一下，我们应该按这样的优先级进行考虑：
- 简单求区间和，用「前缀和」
- 多次将某个区间变成同一个数，用「线段树」
- 其他情况，用「树状数组」
方法：树状数组
树状数组概述
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要介绍树状数组，首先引入二叉树：
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变形一下，就得到了树状数组：
定义树状数组
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首先定义一个累加和数组 sums，假设数组有 8 个元素,如图所示,其中 ni 是原始数据, si 是累加和数据 ：
cpps[1]=n[1]; s[2]=n[1]+n[2]; s[3]=n[3]; s[4]=n[1]+n[2]+n[3]+n[4]; s[5]=n[5]; s[6]=n[5]+n[6]; s[7]=n[7]; s[8]=n[1]+n[2]+n[3]+n[4]+n[5]+n[6]+n[7]+n[8]; -
那么我们如何初始化 sums 这个数组呢？
当我们要对
sums[1]初始化时，也就是加上nums[1]，而sums[2]、sums[4]、sums[8]也都需要加上nums[1]；将这几个节点的下标写成二进制：
sums[(001)]、sums[(010)]、sums[(100)]、sums[(1000)]不难发现，
sums[(1000)] = sums[(100)] + 4，sums[(100)] = sums[(010)] + 2，sums[(010)] = sums[(001)] + 1，即可以表示成sums[(y)] = sums[(x)] + C，C 就是 x 最低位数 1 代表的二进制，比如 x = 100 = 4 。对于上述发现，我们可以使用函数 lowbit(x) 来计算 x 最低位1 所代表的二进制：
cppint lowbit(int x) { return x & (-x); }因此，
sums[(y)] = sums[(x)] + lowbit(x)；当我们对 sums 数组进行初始化的时候，我们就是将所有和 nums[i] 相关联的节点都加上 nums[i]，不断向上操作，直到下标越界。
cppvoid insert(int index, int val) { // 下标+1 int x = index + 1; while (x < sums.size()) { sums[x] += val; x += lowbit(x); } }
更新树状数组
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更新操作和初始化类似，都是执行向上操作，使用
x += lowbit(x)来寻找被影响的数组下标。
cppvoid update(int index, int val) { int x = index + 1; while(x < sums.size()) { // 减去原先的值，加上新值 sums[x] = sums[x] - nums[index] + val; x += lowbit(x); } nums[index] = val; }
查询树状数组
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查询是一个向下访问的过程，使用
x -= lowbit(x)来寻找下一个下标。
cppint query(int x) { int ans = 0; while(x > 0) { ans += sums[x]; x -= lowbit(x); } return ans; }
区间求和
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在完成左右端点的前缀和查询后，就可以对区间求和。
cppint sumRange(int left, int right) { return query(right + 1) - query(left); }
代码
cpp
class NumArray {
public:
vector<int> sums; // 累加和
vector<int> nums;
int lowbit(int x){
return x & (-x);
}
// 原数组长度+1, 原因是计算lowbit时,使用下标0会进入死循环
NumArray(vector<int>& nums) : nums(nums){
sums.resize(nums.size() + 1);
for(int i=0; i<nums.size(); ++i){
// 初始化累加和数组
update(i, nums[i]);
}
}
void insert(int index, int val) {
// 下标+1
int x = index + 1;
while (x < sums.size()) {
sums[x] += val;
x += lowbit(x);
}
}
void update(int index, int val) {
int x = index + 1;
while(x < sums.size()) {
// 减去原先的值，加上新值
sums[x] = sums[x] - nums[index] + val;
x += lowbit(x);
}
nums[index] = val;
}
int sumRange(int left, int right) {
return query(right + 1) - query(left);
}
int query(int x) {
int ans = 0;
while(x > 0) {
ans += sums[x];
x -= lowbit(x);
}
return ans;
}
};
/**
* Your NumArray object will be instantiated and called as such:
* NumArray* obj = new NumArray(nums);
* obj->update(index,val);
* int param_2 = obj->sumRange(left,right);
*/