第五章，向量空间，4-正交向量组
玩转线性代数(29)正交向量组的笔记，相关证明以及例子见原文
正交
若两向量 α \alpha α与 β \beta β的内积等于零，即
[ α , β ] = 0 [\alpha, \beta]=0 [α,β]=0
则称向量 α \alpha α与 β \beta β相互正交，记作 α ⊥ β \alpha \perp \beta α⊥β
标准正交基
定义 正交向量组
若n维向量 ( a 1 , a 2 , ⋯ , a r ) (a_1,a_2,\cdots,a_r) (a1,a2,⋯,ar)是一个非零向量组，且 ( a 1 , a 2 , ⋯ , a r ) (a_1,a_2,\cdots,a_r) (a1,a2,⋯,ar)中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组
定理1
若n维向量 ( a 1 , a 2 , ⋯ , a r ) (a_1,a_2,\cdots,a_r) (a1,a2,⋯,ar)是一个正交向量组，则 ( a 1 , a 2 , ⋯ , a r ) (a_1,a_2,\cdots,a_r) (a1,a2,⋯,ar)线性无关
证明：（定义法）设有 ( λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ r ) (\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r) (λ1,λ2,⋯,λr),使
λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ⋯ + λ r a r = 0 \lambda_1 a_1+\lambda_2 a_2+\cdots+\lambda_r a_r =0 λ1a1+λ2a2+⋯+λrar=0
以 a 1 a_1 a1与上式两端做内积，因当 i ≥ 2 i\ge 2 i≥2时， [ a 1 , a 1 ] = 0 [a_1,a_1]=0 [a1,a1]=0，故有 λ 1 [ a 1 , a 1 ] = 0 \lambda_1[a_1,a_1]=0 λ1[a1,a1]=0
又因 a 1 ≠ 0 a_1 \ne 0 a1=0，故 [ a 1 , a 1 ] = ∥ a 1 ∥ 2 ≠ 0 [a_1,a_1]=\|a_1\|^2\ne0 [a1,a1]=∥a1∥2=0，从而有 λ 1 ≠ 0 \lambda_1\ne 0 λ1=0
类似可证明其它系数为0，于是向量组 ( a 1 , a 2 , ⋯ , a r ) (a_1,a_2,\cdots,a_r) (a1,a2,⋯,ar)线性无关
正交基、标准正交基
设 V ⊂ R n V \subset R^n V⊂Rn是一个向量空间
（1）若 ( a 1 , a 2 , ⋯ , a r ) (a_1,a_2,\cdots,a_r) (a1,a2,⋯,ar)是向量空间V的一个基，且是两两正交的向量组，则称 ( a 1 , a 2 , ⋯ , a r ) (a_1,a_2,\cdots,a_r) (a1,a2,⋯,ar)是向量空间V的正交基
（2）若 ( e 1 , e 2 , ⋯ , e r ) (e_1,e_2,\cdots,e_r) (e1,e2,⋯,er)是向量空间V的一个基， ( e 1 , e 2 , ⋯ , e r ) (e_1,e_2,\cdots,e_r) (e1,e2,⋯,er)两两正交，且都是单位向量，则称 ( e 1 , e 2 , ⋯ , e r ) (e_1,e_2,\cdots,e_r) (e1,e2,⋯,er)是向量空间V的一个标准正交基。
向量在标准正交基下的坐标
若 e 1 , e 2 , ⋯ , e r e_1,e_2,\cdots,e_r e1,e2,⋯,er是V的一个标准正交基，则V中任一向量 α \alpha α能由 e 1 , e 2 , ⋯ , e r e_1,e_2,\cdots,e_r e1,e2,⋯,er线性表示，设表示式为
α = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + ⋯ + λ r e r \alpha=\lambda_1e_1+\lambda_2e_2+\cdots+\lambda_re_r α=λ1e1+λ2e2+⋯+λrer
为求其中的系数 λ i ( i = 1 , 2 , ⋯ , r ) \lambda_i(i=1,2,\cdots,r) λi(i=1,2,⋯,r),可用 e i T e_i^T eiT左乘上式，有
e i T α = λ i e i T e i = λ i e_i^T\alpha=\lambda_i e_i^T e_i=\lambda_i eiTα=λieiTei=λi
即 λ i = e i T α = [ α , e i ] \lambda_i=e_i^T\alpha=[\alpha, e_i] λi=eiTα=[α,ei]
这就是向量在标准正交基中的坐标的计算公式 ，它的几何意义便是向量 α \alpha α在各个分量上的坐标值为基在该分量上的投影，即 α \alpha α与该分量的内积。
标准正交化
设 a 1 , a 2 , ⋯ , a r a_1,a_2,\cdots,a_r a1,a2,⋯,ar是向量空间V的一个基，要求V的一个标准正交基，也就是要找一组两两正交的单位向量 ( e 1 , e 2 , ⋯ , e r ) (e_1,e_2,\cdots,e_r) (e1,e2,⋯,er)，使 ( e 1 , e 2 , ⋯ , e r ) (e_1,e_2,\cdots,e_r) (e1,e2,⋯,er)与 a 1 , a 2 , ⋯ , a r a_1,a_2,\cdots,a_r a1,a2,⋯,ar等价，这样一个总是，称为把 a 1 , a 2 , ⋯ , a r a_1,a_2,\cdots,a_r a1,a2,⋯,ar这个基标准正交化。
利用施密特(Schimidt)正交化法求标准正交基
β 1 = α 1 ; β 2 = α 2 − [ β 1 , α 2 ] [ β 1 , β 1 ] β 1 ; . . . . . . β r = α r − [ β 1 , α r ] [ β 1 , β 1 ] β 1 − [ β 2 , α r ] [ β 2 , β 2 ] β 2 − . . . . . . − [ β r − 1 , α r ] [ β r − 1 , β r − 1 ] β r − 1 \beta_1=\alpha_1; \\ \beta_2=\alpha_2-\frac{[\beta_1,\alpha_2]}{[\beta_1,\beta_1]}\beta_1;\\ ...... \\ \beta_r=\alpha_r-\frac{[\beta_1,\alpha_r]}{[\beta_1,\beta_1]}\beta_1-\frac{[\beta_2,\alpha_r]}{[\beta_2,\beta_2]}\beta_2-......-\frac{[\beta_{r-1},\alpha_r]}{[\beta_{r-1},\beta_{r-1}]}\beta_{r-1} β1=α1;β2=α2−[β1,β1][β1,α2]β1;......βr=αr−[β1,β1][β1,αr]β1−[β2,β2][β2,αr]β2−......−[βr−1,βr−1][βr−1,αr]βr−1
容易验证 β 1 , β 2 , ⋯ , β r \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_r β1,β2,⋯,βr与 α 1 , α 2 , ⋯ , α r \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r α1,α2,⋯,αr等价
单位化
取 e 1 = β 1 ∥ β 1 ∥ , e 2 = β 2 ∥ β 2 ∥ , . . . , e r = β r ∥ β r ∥ e_1=\frac{\beta_1}{\|\beta_1\|},e_2=\frac{\beta_2}{\|\beta_2\|},...,e_r=\frac{\beta_r}{\|\beta_r\|} e1=∥β1∥β1,e2=∥β2∥β2,...,er=∥βr∥βr,
则 ( e 1 , e 2 , ⋯ , e r ) (e_1,e_2,\cdots,e_r) (e1,e2,⋯,er)是V的一个标准正交基
正交矩阵
设 ( e 1 , e 2 , ⋯ , e r ) (e_1,e_2,\cdots,e_r) (e1,e2,⋯,er)为一组标准正交基，令 A = ( e 1 , e 2 , ⋯ , e r ) A=(e_1,e_2,\cdots,e_r) A=(e1,e2,⋯,er),有 A T A = ( e 1 , e 2 , ⋯ , e r ) T ( e 1 , e 2 , ⋯ , e r ) = ( 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 1 ) = E n A^TA=(e_1,e_2,\cdots,e_r)^T(e_1,e_2,\cdots,e_r)=\begin{pmatrix} 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}=E_n ATA=(e1,e2,⋯,er)T(e1,e2,⋯,er)= 1⋮0⋯⋱⋯0⋮1 =En
定义 如果 n阶矩阵A满足 A T A = E A^TA=E ATA=E(即 A − 1 = A T A^{-1}=A^T A−1=AT)，则称A为正交矩阵 ，简称正交阵
性质
通过定义不难得到如下性质：
（1）正交阵可逆，其逆阵即其转置，且仍为正交阵；
（2）正交阵的行列式为 ± 1 \pm 1 ±1；
（3）正交阵之积仍为正交阵；
（4）若n阶方阵A为正交阵，则A的行（列）微量构成 R n R^n Rn的标准正交基。
证（4）：
设A为n阶正交阵，将A的列向量记为： α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn,则 A = ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n) A=(α1,α2,⋯,αn).
由正交阵的定义 A T A = E A^TA=E ATA=E得：
A T A = ( α 1 T ⋮ α n T ) ( α 1 . . . α n ) = ( α 1 T α 1 ⋯ α 1 T α n ⋮ ⋱ ⋮ α n T α 1 ⋯ α n T α n ) = ( ∥ α 1 ∥ 2 ⋯ [ α 1 T , α n ] ⋮ ⋱ ⋮ ∥ α n , α 1 ∥ ⋯ ∥ α n ∥ 2 ) = E A^TA=\begin{pmatrix} \alpha_1^T \\ \vdots \\ \alpha_n^T \end{pmatrix}(\alpha_1 ... \alpha_n) =\begin{pmatrix} \alpha_1^T\alpha_1 & \cdots & \alpha_1^T\alpha_n \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_n^T\alpha_1 & \cdots & \alpha_n^T\alpha_n \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \|\alpha_1\|^2 & \cdots &[\alpha_1^T,\alpha_n] \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \|\alpha_n, \alpha_1\| & \cdots & \|\alpha_n\|^2 \end{pmatrix}=E ATA= α1T⋮αnT (α1...αn)= α1Tα1⋮αnTα1⋯⋱⋯α1Tαn⋮αnTαn = ∥α1∥2⋮∥αn,α1∥⋯⋱⋯[α1T,αn]⋮∥αn∥2 =E
则有
[ α i , α j ] = δ i j = { 1 i = j , 0 i ≠ j , ( i , j = 1 , . . . , n ) [\alpha_i,\alpha_j]=\delta_{ij}=\begin{dcases} 1 &\text{} i=j, \\ 0 &\text{} i\ne j, \end{dcases}(i,j=1,...,n) [αi,αj]=δij={10i=j,i=j,(i,j=1,...,n)
故 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn是 R n R^n Rn的一个标准正交基，对A的行向量类似可证。
正交变换
定义 若P为正交矩阵，则线性变换y=Px称为正交变换
性质 若y=Px为正交变换，则有
∥ y ∥ = x T P T P x = x T x = ∥ x ∥ \|y\|=\sqrt{x^TP^TPx}=\sqrt{x^Tx}=\|x\| ∥y∥=xTPTPx =xTx =∥x∥
由于 ∥ x ∥ \|x\| ∥x∥表示向量的长度，相当于线段的长度，因此 ∥ y ∥ = ∥ x ∥ \|y\|=\|x\| ∥y∥=∥x∥说明经过正交变换后线段长度保持不变，只是对向量进行旋转，这正是正交变换的优良特性