LA@向量组间的表示关系

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2个向量组间的表示关系

向量组的相互表出

设有两个同维向量组 A : α 1 , ⋯ , α s A:\alpha_1,\cdots,\alpha_s A:α1,⋯,αs, B : β 1 , ⋯ , β t {B}:\beta_1,\cdots,\beta_{t} B:β1,⋯,βt
若 β 1 , ⋯ , β t \beta_1,\cdots,\beta_t β1,⋯,βt都可以被 A A A线性表示,则称向量组 B {B} B可以由 A A A线性表示

向量组用另一个向量组表示👺

若 B B B可以由 A A A线性表示,则对 B B B的每个向量 β j ( j = 1 , 2 , ⋯ , t ) \beta_j(j=1,2,\cdots,t) βj(j=1,2,⋯,t)存在 s s s维向量 K j = ( k 1 j , k 2 j , ⋯ , k s j ) T K_j=(k_{1j},k_{2j},\cdots,k_{sj})^T Kj=(k1j,k2j,⋯,ksj)T使得:
- β j \beta_j βj= ∑ i = 1 s k i j α i \sum\limits_{i=1}^{s}k_{ij}\alpha_i i=1∑skijαi= ( α 1 , α 2 , ⋯ , α s ) ( k 1 j , k 2 j , ⋯ , k s j ) T (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)(k_{1j},k_{2j},\cdots,k_{sj})^T (α1,α2,⋯,αs)(k1j,k2j,⋯,ksj)T; ( j = 1 , 2 , ⋯ , t ) (j=1,2,\cdots,t) (j=1,2,⋯,t)
- 这种表出关系中涉及两个向量组 A , B A,B A,B,分别是表示向量组 和被表示向量组

线性表示的系数矩阵

根据分块矩阵乘法 ( A B 1 , A B 2 , ⋯ , A B s ) (AB_1,AB_2,\cdots,AB_s) (AB1,AB2,⋯,ABs)= A ( B 1 , B 2 , ⋯ , B s ) A(B_1,B_2,\cdots,B_s) A(B1,B2,⋯,Bs)有:
- ( β 1 , ⋯ , β t ) = ( α 1 , α 2 , ⋯ , α s ) ( k 11 k 12 ⋯ k 1 t k 21 k 22 ⋯ k s t ⋮ ⋮ ⋮ k s 1 k s 2 ⋯ k s t ) (\beta_1,\cdots,\beta_t) =(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s) \begin{pmatrix} k_{11}&k_{12}&\cdots&k_{1t}\\ k_{21}&k_{22}&\cdots&k_{st}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ k_{s1}&k_{s2}&\cdots&k_{st} \end{pmatrix} (β1,⋯,βt)=(α1,α2,⋯,αs) k11k21⋮ks1k12k22⋮ks2⋯⋯⋯k1tkst⋮kst
- 其中矩阵 K s × t = ( k i j ) K_{s\times{t}}=(k_{ij}) Ks×t=(kij)称为 A A A线性表示 B {B} B的系数矩阵

矩阵乘法与线性表出

若 C m × n C_{m\times{n}} Cm×n= A m × l B l × n A_{m\times{l}}B_{l\times{n}} Am×lBl×n,则

列向量组线性表示

C C C的列向量组 能够由矩阵 A A A的列向量组 线性表示,且 B B B为这一表示的系数矩阵:
- ( c 1 , c 2 , ⋯ , c n ) = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a l ) ( b 11 b 12 ⋯ b 1 n b 21 b 22 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ b l 1 b l 2 ⋯ b l n ) (\bold{c}1,\bold{c}2,\cdots,\bold{c}n) =(\bold{a}1,\bold{a}2,\cdots,\bold{a}l) \begin{pmatrix} b{11}&b{12}&\cdots&b{1n}\\ b{21}&b{22}&\cdots&b{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ b_{l1}&b_{l2}&\cdots&b_{ln} \end{pmatrix} (c1,c2,⋯,cn)=(a1,a2,⋯,al) b11b21⋮bl1b12b22⋮bl2⋯⋯⋯b1nb2n⋮bln

行向量组线性表示

同时 C C C的行向量组能由 B B B的行向量组线性表示,且 A A A为这一表示的系数矩阵
- ( γ 1 T γ 2 T ⋮ γ m T ) = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 l a 21 a 22 ⋯ a 2 l ⋮ ⋮ ⋮ a m l a m 2 ⋯ a m l ) ( β 1 T β 2 T ⋮ β l T ) \begin{pmatrix} \gamma_1^T\\ \gamma_2^T\\ \vdots\\ \gamma_m^T \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1l}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2l}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{ml}&a_{m2}&\cdots&a_{ml} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \beta_1^T\\ \beta_2^T\\ \vdots\\ \beta_l^T \end{pmatrix} γ1Tγ2T⋮γmT = a11a21⋮amla12a22⋮am2⋯⋯⋯a1la2l⋮aml β1Tβ2T⋮βlT
  - γ i T \gamma_{i}^T γiT= ∑ k = 1 l a i k β k T \sum_{k=1}^{l}a_{ik}\beta_{k}^T ∑k=1laikβkT, i = 1 , 2 ⋯ , m i=1,2\cdots,m i=1,2⋯,m

向量组等价👺

若两个向量组 A A A和 B B B可以相互线性表示 ,则称 A , B A,B A,B两个向量组等价记为 A ≅ B A\cong{B} A≅B
- 若两个向量组 B B B可通过 A A A中的向量调整顺序得到,则显然地 A , B A,B A,B可以相互线性表出(表出系数为全1向量),同时有 B ≅ A B\cong{A} B≅A
- 若 B B B是 A A A的一个部分组,则 B B B显然可以被 A A A线性表示,表出系数为仅包含 0 , 1 0,1 0,1的向量

向量组等价的性质

反身性:每个向量组和自身等价 A ≅ A A\cong A A≅A
对称性: A ≅ B ⇒ B ≅ A A\cong{B}\Rightarrow{{B}\cong{A}} A≅B⇒B≅A
传递性: A ≅ B , B ≅ C ⇒ A ≅ C A\cong{B},{B}\cong{C}\Rightarrow{A\cong{C}} A≅B,B≅C⇒A≅C

推论

若 A = B A=B A=B,则

等价矩阵与向量组等价的关系

行等价矩阵的行向量组等价

设矩阵 A ∼ r B A\overset{r}{\sim}{B} A∼rB,即矩阵 A A A经过初等行变换可以变成矩阵 B B B,即存在可逆矩阵 P P P使得 B = P A B=PA B=PA;
由矩阵乘法和线性表示的关系, B B B的行向量组可以被 A A A的行向量组线性,且表示系数矩阵 P P P
反之 P − 1 B = A P^{-1}B=A P−1B=A,所以 A A A的行向量组可以被 B B B的行向量组线性表示,且表示系数矩阵为 P − 1 P^{-1} P−1
可见 A , B A,B A,B可以相互表示,从而 A , B A,B A,B;两个向量组等价 ( A ≅ B ) (A\cong{B}) (A≅B)

列等价矩阵的列向量组

类似的,若 A ∼ c B A\overset{c}{\sim}B A∼cB,则 A ≅ B A\cong{B} A≅B

小结

若 A ∼ B \bold{A}\sim{\bold{B}} A∼B,则 A ≅ B A\cong{B} A≅B
但是逆命题不成立,因为对于 C = B A C=BA C=BA, A , B A,B A,B不一定是可逆矩阵

向量组等价和矩阵等价的比较🎈

向量组等价在于相互表示
矩阵等价在于可以通过初等变换相互转换

概念迁移:线性方程组之间的等价

向量组 的**"线性组合**,线性表示 以及等价"等概念可以迁移到线性方程组上

方程组的线性组合

线性方程组中的线性方程对应于一个行向量
对方程组 A A A的各个方程作线性运算得到的新方程 称为"方程组 A A A的一个线性组合"

方程组被另一个方程组线性表示

若方程组 B B B的每个方程都是方程组 A A A的线性组合,则称方程组 B B B能由方程组 A A A线性表示

方程组等价

若方程组 A , B A,B A,B能相互线性表示,则 A , B A,B A,B可以互推 ,可互推的线性方程组相也称它们等价

线性方程组同解问题

方程组 A A A的解一定是方程组 B B B的解,反之则不一定成立(方程组 B B B的部分解和方程组 A A A的解重合)
- A A A是 B B B的充分条件, B B B是 A A A的必要条件,这也说明, A A A的解一定满足 B B B,但是 B B B的解可能仅满足 A A A的部分条件
可互推的线性线性方程组一定是同解的

向量组可被另一个向量组线性表示判定定理👺

分析

以列向量组为例讨论;行向量组类似有相同的结论
向量组 B : b 1 , b 2 , ⋯ , b l B:\bold{b}_1,\bold{b}_2,\cdots,\bold{b}_l B:b1,b2,⋯,bl能由向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\bold{a}_1,\bold{a}_2,\cdots,\bold{a}m A:a1,a2,⋯,am线性表示,其含义是存在矩阵 K m × l K{m\times{l}} Km×l,使得 ( b 1 , b 2 , ⋯ , b l ) (\bold{b}_1,\bold{b}_2,\cdots,\bold{b}_l) (b1,b2,⋯,bl)= ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) K (\bold{a}_1,\bold{a}_2,\cdots,\bold{a}_m)K (a1,a2,⋯,am)K成立
也是矩阵方程 ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) X (\bold{a}_1,\bold{a}_2,\cdots,\bold{a}_m)\bold{X} (a1,a2,⋯,am)X= ( b 1 , b 2 , ⋯ , b l ) (\bold{b}_1,\bold{b}_2,\cdots,\bold{b}_l) (b1,b2,⋯,bl)有解, X X X就是 B B B线性表示 A A A的表示系数矩阵
- 记 A \bold{A} A= ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) (\bold{a}_1,\bold{a}_2,\cdots,\bold{a}_m) (a1,a2,⋯,am); B = ( b 1 , b 2 , ⋯ , b l ) \bold{B}=(\bold{b}_1,\bold{b}_2,\cdots,\bold{b}_l) B=(b1,b2,⋯,bl),矩阵方程作 A X = B \bold{AX=B} AX=B
- 则 R ( A ) = R ( A , B ) R(\bold{A})=R(\bold{A},\bold{B}) R(A)=R(A,B)是方程有解的充要条件

定理👺

向量组 B : b 1 , b 2 , ⋯ , b l B:\bold{b}_1,\bold{b}_2,\cdots,\bold{b}_l B:b1,b2,⋯,bl能由向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\bold{a}_1,\bold{a}_2,\cdots,\bold{a}_m A:a1,a2,⋯,am线性表示的充要条件 是矩阵 R ( A ) = R ( A , B ) R(\bold{A})=R(\bold{A},\bold{B}) R(A)=R(A,B)
- 对于行向量组,相当于判定 B = X A B=XA B=XA是否有解,这个问题可以转换为列向量组,即利用转置运算转换为 B T = A T X T B^T=A^TX^T BT=ATXT,而判定条件 R ( A T ) = R ( A T , B T ) R(\bold{A^T})=R(\bold{A^T,B^T}) R(AT)=R(AT,BT),等价于 R ( A ) = R ( A , B ) R(\bold{A})=R(\bold{A},\bold{B}) R(A)=R(A,B)

推论:两向量组等价的充要条件

由上述定理:
- 向量组 A A A能由 B B B线性表示,则 R ( A ) = R ( A , B ) R(\bold{A})=R(\bold{A,B}) R(A)=R(A,B)
- 向量组 B B B能由 A A A线性表示,则 R ( B ) = R ( B , A ) R(\bold{B})=R(\bold{B,A}) R(B)=R(B,A)
此外由初等列变换中的列交换有 ( A , B ) ∼ c ( B , A ) (\bold{A,B})\overset{c}{\sim}\bold{(B,A)} (A,B)∼c(B,A),所以 R ( A , B ) R(\bold{A,B}) R(A,B)= R ( B , A ) R(\bold{B,A}) R(B,A)
两向量组 A , B A,B A,B等价的充要条件是 R ( A ) = R ( B ) = R ( A , B ) R(\bold{A})=R(\bold{B})=R(\bold{A,B}) R(A)=R(B)=R(A,B)

向量组的矩阵秩间关系👺

设向量组 B B B能由向量组 A A A线性表示,则 R ( B ) ⩽ R ( A ) R(\bold{B})\leqslant{R(\bold{A})} R(B)⩽R(A)
证明:
- 由于 B B B能被 A A A线性表示,则 R ( A ) = R ( A , B ) R(\bold{A})=R(\bold{A,B}) R(A)=R(A,B)
- 又由分块矩阵秩的性质: R ( B ) ⩽ R ( A , B ) R(\bold{B})\leqslant{R(\bold{A,B})} R(B)⩽R(A,B)
- 所以 R ( B ) ⩽ R ( A ) R(\bold{B})\leqslant{R(\bold{A})} R(B)⩽R(A)
结论表明,被表示向量组的矩阵的秩小等于表示向量组的矩阵的秩
形象的理解该结论 : B :B :B能够被 A A A表示(代替掉),说明 B B B的内涵(秩)不超过 A A A

矩阵方法

用矩阵来表述问题,并通过矩阵的运算结局问题的方法通常叫做矩阵方法,是线性代数的基本方法
例如,将向量组的问题表述称矩阵形式,通过矩阵的运算来得出结果,在把矩阵形式的结果翻译成几何语言问题的结论
以下三种表述是对应等价的
- 向量组 B B B能由向量组 A A A线性表示(几何语言)
- 存在矩阵 K \bold{K} K,使得 B = A K \bold{B=AK} B=AK(矩阵语言)
- 方程 A X = B \bold{AX=B} AX=B有解(矩阵语言)

n维单位坐标向量

n n n阶单位矩阵 E n \bold{E}_n En= ( e 1 , ⋯ , e n ) (\bold{e}_1,\cdots,\bold{e}_n) (e1,⋯,en)的列向量称为** n n n维单位坐标向量**
设 n n n维向量组 A : a 1 , ⋯ , a m A:\bold{a_1},\cdots,\bold{a_m} A:a1,⋯,am构成 n × m n\times{m} n×m矩阵 A \bold{A} A;易知 R ( A ) ⩽ n R(\bold{A})\leqslant{n} R(A)⩽n
结论: n n n维单位坐标向量 E n : e 1 , ⋯ , e n E_n:\bold{e}_1,\cdots,\bold{e}_n En:e1,⋯,en都能由向量组 A A A线性表示的充要条件 是 R ( A ) = n R(\bold{A})=n R(A)=n(几何语言描述,描述中不直接涉及矩阵运算)
证明: E n E_n En能被 A A A线性表示,则 E = A X \bold{E=AX} E=AX有解
- 等价于: R ( A ) = R ( A , E ) R(\bold{A})=R(\bold{A,E}) R(A)=R(A,E);
- 而 R ( A , E ) ⩾ R ( E ) = n R(\bold{A,E})\geqslant{R(\bold E)=n} R(A,E)⩾R(E)=n, ( A , E ) (\bold{A,E}) (A,E)仅有 n n n行,即 R ( A , E ) ⩽ n R(\bold{A,E})\leqslant{n} R(A,E)⩽n;综上 R ( A , E ) = n R(\bold{A,E})=n R(A,E)=n,
- 所以: R ( A ) R(\bold{A}) R(A)= n n n
结论用矩阵语言描述(描述中包含矩阵运算):对矩阵 A n × m \bold{A}{n\times{m}} An×m,存在矩阵 K m × n \bold{K}{m\times{n}} Km×n,使得 A K = E n \bold{AK}=\bold{E}_n AK=En的充要条件是 R ( A ) = n R(\bold{A})=n R(A)=n
- 或 A X = E n \bold{AX}=\bold{E}_n AX=En有解的充要条件是 R ( A ) = n R(\bold{A})=n R(A)=n