向量代数核心概念与运算
向量的基本概念与表示
向量的模 ：描述向量的大小。对于三维向量 a⃗=(x,y,z)\vec{a} = (x, y, z)a =(x,y,z)，其模长为：
∣a⃗∣=x2+y2+z2 |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} ∣a ∣=x2+y2+z2
方向余弦 ：表示向量与坐标轴正方向的夹角余弦。若 a⃗=(x,y,z)\vec{a} = (x, y, z)a =(x,y,z)，方向余弦为：
cosα=x∣a⃗∣,cosβ=y∣a⃗∣,cosγ=z∣a⃗∣ \cos\alpha = \frac{x}{|\vec{a}|}, \quad \cos\beta = \frac{y}{|\vec{a}|}, \quad \cos\gamma = \frac{z}{|\vec{a}|} cosα=∣a ∣x,cosβ=∣a ∣y,cosγ=∣a ∣z
且满足恒等式：
cos2α+cos2β+cos2γ=1 \cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1 cos2α+cos2β+cos2γ=1
投影 ：向量在坐标轴上的投影为标量。例如，a⃗\vec{a}a 在 xxx 轴上的投影记为 axa_xax。
两点距离公式 ：点 M1(x1,y1,z1)M_1(x_1, y_1, z_1)M1(x1,y1,z1) 与 M2(x2,y2,z2)M_2(x_2, y_2, z_2)M2(x2,y2,z2) 的距离为：
∣M1M2∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2 |M_1M_2| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} ∣M1M2∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2
向量的运算
线性运算
向量加减与数乘遵循平行四边形法则，坐标运算为对应分量加减或数乘。
数量积（点积）
定义与性质：
a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cosθ=axbx+ayby+azbz \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z a ⋅b =∣a ∣∣b ∣cosθ=axbx+ayby+azbz
应用：计算夹角、判断垂直（a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0a ⋅b =0 时垂直）。
向量积（叉积）
定义与计算：
a⃗×b⃗=∣i⃗j⃗k⃗axayazbxbybz∣,∣a⃗×b⃗∣=∣a⃗∣∣b⃗∣sinθ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}, \quad |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta a ×b = i axbxj aybyk azbz ,∣a ×b ∣=∣a ∣∣b ∣sinθ
结果方向由右手法则确定，垂直于 a⃗\vec{a}a 与 b⃗\vec{b}b 所在平面。
应用：求平面法向量、计算平行四边形面积。
向量的位置关系
平行判定
a⃗∥b⃗⇔a⃗×b⃗=0⃗\vec{a} \parallel \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}a ∥b ⇔a ×b =0 或对应分量成比例：
axbx=ayby=azbz \frac{a_x}{b_x} = \frac{a_y}{b_y} = \frac{a_z}{b_z} bxax=byay=bzaz
垂直判定
a⃗⊥b⃗⇔a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0a ⊥b ⇔a ⋅b =0，即分量满足：
axbx+ayby+azbz=0 a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = 0 axbx+ayby+azbz=0
夹角公式
两向量夹角 θ\thetaθ 满足：
cosθ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣ \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} cosθ=∣a ∣∣b ∣a ⋅b
空间解析几何
平面与直线
平面方程
点法式：已知点 M0(x0,y0,z0)M_0(x_0, y_0, z_0)M0(x0,y0,z0)，法向量 n⃗=(A,B,C)\vec{n} = (A, B, C)n =(A,B,C)，则平面方程为
A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0 A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0
一般式：Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0Ax+By+Cz+D=0，法向量 n⃗=(A,B,C)\vec{n} = (A, B, C)n =(A,B,C)。
直线方程
点向式（对称式）：已知点 M0(x0,y0,z0)M_0(x_0, y_0, z_0)M0(x0,y0,z0)，方向向量 s⃗=(l,m,n)\vec{s} = (l, m, n)s =(l,m,n)，则直线方程为
x−x0l=y−y0m=z−z0n \frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n} lx−x0=my−y0=nz−z0
参数式：
{x=x0+lty=y0+mtz=z0+nt(t为参数) \begin{cases} x = x_0 + lt \\ y = y_0 + mt \\ z = z_0 + nt \end{cases} \quad (t \text{为参数}) ⎩ ⎨ ⎧x=x0+lty=y0+mtz=z0+nt(t为参数)
一般式：表示为两平面的交线
{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0 \begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases} {A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0
位置关系与距离公式
平面与平面的关系
设平面 π1:A1x+B1y+C1z+D1=0\pi_1: A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0π1:A1x+B1y+C1z+D1=0（法向量 n⃗1=(A1,B1,C1)\vec{n}_1 = (A_1, B_1, C_1)n 1=(A1,B1,C1)），平面 π2:A2x+B2y+C2z+D2=0\pi_2: A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0π2:A2x+B2y+C2z+D2=0（法向量 n⃗2=(A2,B2,C2)\vec{n}_2 = (A_2, B_2, C_2)n 2=(A2,B2,C2)）。
- 相交、平行（n⃗1∥n⃗2\vec{n}_1 \parallel \vec{n}_2n 1∥n 2）、重合。
- 夹角：
cosθ=∣n⃗1⋅n⃗2∣∣n⃗1∣∣n⃗2∣ \cos\theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|} cosθ=∣n 1∣∣n 2∣∣n 1⋅n 2∣
直线与直线的位置关系
设直线 L1L_1L1 方向向量 s⃗1\vec{s}_1s 1，L2L_2L2 方向向量 s⃗2\vec{s}_2s 2。
- 共面（相交、平行）或异面。
直线与平面的位置关系
设直线 LLL 方向向量 s⃗\vec{s}s ，平面 π\piπ 法向量 n⃗\vec{n}n 。
- 相交、平行（s⃗⊥n⃗\vec{s} \perp \vec{n}s ⊥n 且直线不在平面上）、直线在平面上。
- 夹角：
sinφ=∣s⃗⋅n⃗∣∣s⃗∣∣n⃗∣ \sin\varphi = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}||\vec{n}|} sinφ=∣s ∣∣n ∣∣s ⋅n ∣
距离公式
点到平面的距离：点 P0(x0,y0,z0)P_0(x_0, y_0, z_0)P0(x0,y0,z0) 到平面 Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0Ax+By+Cz+D=0 的距离
d=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2 d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} d=A2+B2+C2 ∣Ax0+By0+Cz0+D∣
点到直线的距离：点 P0P_0P0 到直线 LLL（过点 MMM，方向向量 s⃗\vec{s}s ）的距离
d=∣MP0⃗×s⃗∣∣s⃗∣ d = \frac{|\vec{MP_0} \times \vec{s}|}{|\vec{s}|} d=∣s ∣∣MP0 ×s ∣
异面直线的距离：若直线 L1L_1L1 过点 M1M_1M1，方向向量 s⃗1\vec{s}_1s 1；L2L_2L2 过点 M2M_2M2，方向向量 s⃗2\vec{s}_2s 2，则距离
d=∣(s⃗1×s⃗2)⋅M1M2⃗∣∣s⃗1×s⃗2∣ d = \frac{|(\vec{s}_1 \times \vec{s}_2) \cdot \vec{M_1M_2}|}{|\vec{s}_1 \times \vec{s}_2|} d=∣s 1×s 2∣∣(s 1×s 2)⋅M1M2 ∣
空间曲面与曲线
常见曲面
旋转曲面
平面曲线绕其所在平面内一条直线旋转而成。例如，yOzyOzyOz 面上曲线 f(y,z)=0f(y, z) = 0f(y,z)=0 绕 zzz 轴旋转后的方程为：
f(±x2+y2,z)=0f\left(\pm\sqrt{x^2 + y^2}, z\right) = 0f(±x2+y2 ,z)=0
柱面
由平行于定直线并沿定曲线移动的直线轨迹形成。例如，母线平行于 zzz 轴，准线为 xOyxOyxOy 面上曲线 f(x,y)=0f(x, y) = 0f(x,y)=0 的柱面方程为：
f(x,y)=0f(x, y) = 0f(x,y)=0
二次曲面
常见二次曲面的标准方程及特征如下：
| 曲面名称 | 标准方程 | 图形特征 |
|---|---|---|
| 椭球面 | x2a2+y2b2+z2c2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1a2x2+b2y2+c2z2=1 | 封闭曲面，有界 |
| 椭圆抛物面 | x2a2+y2b2=z\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = za2x2+b2y2=z (z≥0z \ge 0z≥0) | 开口向上的碗状 |
| 单叶双曲面 | x2a2+y2b2−z2c2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1a2x2+b2y2−c2z2=1 | 连接的双曲面，像腰鼓 |
| 双叶双曲面 | x2a2+y2b2−z2c2=−1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1a2x2+b2y2−c2z2=−1 | 分离的两叶 |
| 双曲抛物面 | x2a2−y2b2=z\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = za2x2−b2y2=z | 马鞍形状 |
空间曲线
一般方程
两个空间曲面的交线表示为：
{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0 \begin{cases} F(x, y, z) = 0 \\ G(x, y, z) = 0 \end{cases} {F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0
参数方程
空间曲线的参数方程为：
{x=x(t)y=y(t)z=z(t) \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x=x(t)y=y(t)z=z(t)
其中 ttt 为参数。
投影曲线
空间曲线 CCC 在 xOyxOyxOy 面上的投影方程为：
{H(x,y)=0z=0 \begin{cases} H(x, y) = 0 \\ z = 0 \end{cases} {H(x,y)=0z=0
其中 H(x,y)=0H(x, y)=0H(x,y)=0 是通过消去 zzz 得到的投影柱面方程。
截痕法
通过用平行于坐标面的平面截割曲面，研究交线（截痕）的形状，从而了解曲面整体形状的方法。
🧮 典型例题解析
向量夹角与垂直判断
计算向量 a⃗=(1,−2,3)\vec{a} = (1, -2, 3)a =(1,−2,3) 和 b⃗=(2,1,−1)\vec{b} = (2, 1, -1)b =(2,1,−1) 的点积：
a⃗⋅b⃗=1×2+(−2)×1+3×(−1)=−3 \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 2 + (-2) \times 1 + 3 \times (-1) = -3 a ⋅b =1×2+(−2)×1+3×(−1)=−3
计算向量的模：
∣a⃗∣=12+(−2)2+32=14,∣b⃗∣=22+12+(−1)2=6 |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{14}, \quad |\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{6} ∣a ∣=12+(−2)2+32 =14 ,∣b ∣=22+12+(−1)2 =6
夹角的余弦值：
cosθ=−314×6=−3221 \cos\theta = \frac{-3}{\sqrt{14} \times \sqrt{6}} = -\frac{3}{2\sqrt{21}} cosθ=14 ×6 −3=−221 3
由于点积不为零，两向量不垂直。
垂直单位向量求解
计算叉积 a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b}a ×b ：
a⃗×b⃗=∣i⃗j⃗k⃗1−2321−1∣=(−1,7,5) \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (-1, 7, 5) a ×b = i 12j −21k 3−1 =(−1,7,5)
叉积的模：
∣a⃗×b⃗∣=(−1)2+72+52=53 |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 7^2 + 5^2} = 5\sqrt{3} ∣a ×b ∣=(−1)2+72+52 =53
单位化结果：
±(−1,7,5)53=±(−153,753,13) \pm \frac{(-1, 7, 5)}{5\sqrt{3}} = \pm \left( -\frac{1}{5\sqrt{3}}, \frac{7}{5\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right) ±53 (−1,7,5)=±(−53 1,53 7,3 1)
平面方程求解
已知直线 LLL 的方向向量 s⃗=(2,−1,3)\vec{s} = (2, -1, 3)s =(2,−1,3) 即为平面的法向量。通过点 M(1,2,−1)M(1, 2, -1)M(1,2,−1) 的平面方程为：
2(x−1)−(y−2)+3(z+1)=0 2(x-1) - (y-2) + 3(z+1) = 0 2(x−1)−(y−2)+3(z+1)=0
化简得：
2x−y+3z+3=0 2x - y + 3z + 3 = 0 2x−y+3z+3=0
点到直线距离计算
直线 LLL 的方向向量 s⃗=(2,−1,2)\vec{s} = (2, -1, 2)s =(2,−1,2)，过点 M(1,0,−1)M(1, 0, -1)M(1,0,−1)。向量 MP⃗=(0,2,4)\vec{MP} = (0, 2, 4)MP =(0,2,4)，叉积为：
MP⃗×s⃗=(8,8,−4) \vec{MP} \times \vec{s} = (8, 8, -4) MP ×s =(8,8,−4)
距离公式：
d=∣MP⃗×s⃗∣∣s⃗∣=123=4 d = \frac{|\vec{MP} \times \vec{s}|}{|\vec{s}|} = \frac{12}{3} = 4 d=∣s ∣∣MP ×s ∣=312=4
曲线投影求解
将圆柱面方程 x2+y2=2xx^2 + y^2 = 2xx2+y2=2x 化为标准圆方程：
(x−1)2+y2=1 (x-1)^2 + y^2 = 1 (x−1)2+y2=1
投影曲线为 z=0z=0z=0 平面与该圆的交线：
{(x−1)2+y2=1z=0 \begin{cases} (x-1)^2 + y^2 = 1 \\ z = 0 \end{cases} {(x−1)2+y2=1z=0