文章目录
- 写在最前
- 1.线性代数必背公式(更新中)
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- [1.1 关于行列式、逆矩阵、伴随矩阵、转置矩阵计算公式大总结](#1.1 关于行列式、逆矩阵、伴随矩阵、转置矩阵计算公式大总结)
- [1.2 矩阵秩的大总结](#1.2 矩阵秩的大总结)
- [1.3 分块矩阵大总结](#1.3 分块矩阵大总结)
- [1.4 秩一矩阵大总结](#1.4 秩一矩阵大总结)
- 2.线代计算技巧总结
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- [2.1 快速计算三阶行列式](#2.1 快速计算三阶行列式)
- [2.2 快速判断三阶矩阵的秩](#2.2 快速判断三阶矩阵的秩)
- [2.3 快速计算伴随矩阵](#2.3 快速计算伴随矩阵)
- [2.4 快速计算逆矩阵](#2.4 快速计算逆矩阵)
- [2.5 快速计算特征值](#2.5 快速计算特征值)
- [2.6 快速特征向量](#2.6 快速特征向量)
- [2.7 快速计算求两个向量的正交向量](#2.7 快速计算求两个向量的正交向量)
- 3.综合题总结
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- [3.1 求|A|的代数余子式之和A~11~+A~12~+A~13~](#3.1 求|A|的代数余子式之和A11+A12+A13)
- [3.2 【计算行列式】与特征值结合](#3.2 【计算行列式】与特征值结合)
- [3.3 【计算行列式】与可逆矩阵充当除法结合](#3.3 【计算行列式】与可逆矩阵充当除法结合)
- [3.4 【简单常识】反求矩阵A](#3.4 【简单常识】反求矩阵A)
- [3.5 【简单常识】矩阵方程意味着特征值方程](#3.5 【简单常识】矩阵方程意味着特征值方程)
- [3.6 【经典例题】使用传递性求可逆矩阵存在可逆矩阵P，使得P^-1^BP=对角阵](#3.6 【经典例题】使用传递性求可逆矩阵存在可逆矩阵P，使得P-1BP=对角阵)
- [3.7 将方程求解问题转换为特征值特征向量的问题](#3.7 将方程求解问题转换为特征值特征向量的问题)
- [3.8 将求未知矩阵的问题转为求特征值特征向量](#3.8 将求未知矩阵的问题转为求特征值特征向量)
- [3.9 求可逆实对称矩阵Q，使得Q^-1^AQ=A^T^,找A和A^T^的联系](#3.9 求可逆实对称矩阵Q，使得Q-1AQ=AT,找A和AT的联系)
- [3.10 已知p^-1^Ap=B,知道B的特征值特征向量，如何求A的特征值特征向量](#3.10 已知p-1Ap=B,知道B的特征值特征向量，如何求A的特征值特征向量)
- 4.二级结论积累
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- [4.1 A^m-1^a≠0,A^m^a=0的二级结论](#4.1 Am-1a≠0,Ama=0的二级结论)
- [4.2 A和A^T^不同特征值的特征向量，一定正交](#4.2 A和AT不同特征值的特征向量，一定正交)
写在最前
本篇文章，着眼于线性代数需要记忆的公式总结和一些使用的计算方法总结，以及一部分题目的积累
1.线性代数必背公式(更新中)
1.1 关于行列式、逆矩阵、伴随矩阵、转置矩阵计算公式大总结
几点注意：
1.行列式可以提一行k，但是矩阵不行，矩阵提k，是整个矩阵的每一个元素都提出k。
1.2 矩阵秩的大总结
1.3 分块矩阵大总结
- 分块矩阵的行列式
- 分块矩阵的乘法
- 分块矩阵的逆矩阵
- 分块矩阵的转置
- 分块矩阵的逆矩阵
- 分块矩阵的秩
- 分块矩阵的初等变换
1.4 秩一矩阵大总结
2.线代计算技巧总结
2.1 快速计算三阶行列式
如何快速计算三阶行列式，当然了，这种计算方法较为适用于含有0少的情况，如果容易展开，直接展开就行
竖着抄两行
2.2 快速判断三阶矩阵的秩
核心思想:枚举法
一个三阶矩阵，秩的情况，无非就是0，1，2，3
0和1这两种情况能看出来
所以重点在于判断2和3的情况，用行列式判断
行列式=0，秩=2，行列式≠0，秩为3
2.3 快速计算伴随矩阵
1.按照计算行列式的方法，先竖着补两列，再抄写第一行和第二行，放在下面
2.去掉第一行，第一列
3.算二阶行列式，竖着算，横着写
2.4 快速计算逆矩阵
A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{ - 1} = \frac{1}{\left|A\right|}A^{*} A−1=∣A∣1A∗
用快速计算伴随矩阵的方法计算逆矩阵
2.5 快速计算特征值
写出特征多项式，然后通过试根，化为乘积的形式，即可得到特征值
2.6 快速特征向量
|A-λE|α=0, α是特征向量，不等于0，又因为最后的结果等于0，所以，不难得出，A-λE这个矩阵肯定是不可逆的。
在计算特征向量时，就是解齐次线性方程组，这个过程中，由于A-λE不可逆，他肯定不是满秩的，所以可以任意划掉一行，再计算特征向量
2.7 快速计算求两个向量的正交向量
横着将两个向量抄两遍，去掉第一列，去掉最后一列。
计算三个二阶行列式
3.综合题总结
3.1 求|A|的代数余子式之和A11+A12+A13
题眼分析:
涉及到代数余子式，考虑行列式或伴随矩阵
A11+A12+A13不是按行或者按列展开，所以应该考虑伴随矩阵
3.2 【计算行列式】与特征值结合
特征值和行列式的联系：
1.通过特征值定义，根据行列式=0，得到矩阵A的某个特征值
2.矩阵A特征值之积=矩阵的行列式
3.3 【计算行列式】与可逆矩阵充当除法结合
3.4 【简单常识】反求矩阵A
方法1:
已知：p-1Ap=对角阵，求矩阵A
求对角阵的特征值特征向量，A=p对角阵p-1
转换为矩阵乘法
假如这个A是实对称矩阵，还可以p-1=pT,A=p对角阵pT
方法2:
3.5 【简单常识】矩阵方程意味着特征值方程
3.6 【经典例题】使用传递性求可逆矩阵存在可逆矩阵P，使得P-1BP=对角阵
在某些稍微复杂的题目中
给出A-1BA=C,意味着C和B相似，C～对角阵
又经过计算B～对角矩阵
所以B也相似于这个对角矩阵，它们的特征值是相同，注意相似特征向量不一定相同。
求可逆矩阵P使得P-1BP=对角阵
P1-1CP1=对角阵
将A-1BA=C代入它
P1-1A-1BAP1=对角阵
所以(AP1)-1BAP1=对角阵，AP1就是P
题目来源:880 第十一章 综合解答2
3.7 将方程求解问题转换为特征值特征向量的问题
3.8 将求未知矩阵的问题转为求特征值特征向量
3.9 求可逆实对称矩阵Q，使得Q-1AQ=AT,找A和AT的联系
3.10 已知p-1Ap=B,知道B的特征值特征向量，如何求A的特征值特征向量
4.二级结论积累
二级结论不是很重要，了解会用即可。
4.1 Am-1a≠0,Ama=0的二级结论
Am-1a≠0,Ama=0,有a,Aa,A2a,Am-1a，线性无关
进一步思考其中内核就是，Aa=0成立，A2a也成立，A2a=AAa=0。
4.2 A和AT不同特征值的特征向量，一定正交
