线性代数 必背公式总结&&线代计算技巧总结_分块矩阵大总结_秩一矩阵大总结

文章目录

• 写在最前
• 1.线性代数必背公式(更新中)
• • [1.1 关于行列式、逆矩阵、伴随矩阵、转置矩阵计算公式大总结](#1.1 关于行列式、逆矩阵、伴随矩阵、转置矩阵计算公式大总结)
  • [1.2 矩阵秩的大总结](#1.2 矩阵秩的大总结)
  • [1.3 分块矩阵大总结](#1.3 分块矩阵大总结)
  • [1.4 秩一矩阵大总结](#1.4 秩一矩阵大总结)
• 2.线代计算技巧总结
• • [2.1 快速计算三阶行列式](#2.1 快速计算三阶行列式)
  • [2.2 快速判断三阶矩阵的秩](#2.2 快速判断三阶矩阵的秩)
  • [2.3 快速计算伴随矩阵](#2.3 快速计算伴随矩阵)
  • [2.4 快速计算逆矩阵](#2.4 快速计算逆矩阵)
  • [2.5 快速计算特征值](#2.5 快速计算特征值)
  • [2.6 快速特征向量](#2.6 快速特征向量)
  • [2.7 快速计算求两个向量的正交向量](#2.7 快速计算求两个向量的正交向量)
• 3.综合题总结
• • [3.1 求|A|的代数余子式之和A~11~+A~12~+A~13~](#3.1 求|A|的代数余子式之和A₁₁+A₁₂+A₁₃)
  • [3.2 【计算行列式】与特征值结合](#3.2 【计算行列式】与特征值结合)
  • [3.3 【计算行列式】与可逆矩阵充当除法结合](#3.3 【计算行列式】与可逆矩阵充当除法结合)
  • [3.4 【简单常识】反求矩阵A](#3.4 【简单常识】反求矩阵A)
  • [3.5 【简单常识】矩阵方程意味着特征值方程](#3.5 【简单常识】矩阵方程意味着特征值方程)
  • [3.6 【经典例题】使用传递性求可逆矩阵存在可逆矩阵P，使得P^-1^BP=对角阵](#3.6 【经典例题】使用传递性求可逆矩阵存在可逆矩阵P，使得P^-1BP=对角阵)
  • [3.7 将方程求解问题转换为特征值特征向量的问题](#3.7 将方程求解问题转换为特征值特征向量的问题)
  • [3.8 将求未知矩阵的问题转为求特征值特征向量](#3.8 将求未知矩阵的问题转为求特征值特征向量)
  • [3.9 求可逆实对称矩阵Q，使得Q^-1^AQ=A^T^,找A和A^T^的联系](#3.9 求可逆实对称矩阵Q，使得Q^-1AQ=A^T,找A和A^T的联系)
  • [3.10 已知p^-1^Ap=B,知道B的特征值特征向量，如何求A的特征值特征向量](#3.10 已知p^-1Ap=B,知道B的特征值特征向量，如何求A的特征值特征向量)
• 4.二级结论积累
• • [4.1 A^m-1^a≠0,A^m^a=0的二级结论](#4.1 A^m-1a≠0,A^ma=0的二级结论)
  • [4.2 A和A^T^不同特征值的特征向量，一定正交](#4.2 A和A^T不同特征值的特征向量，一定正交)

写在最前

本篇文章，着眼于线性代数需要记忆的公式总结和一些使用的计算方法总结，以及一部分题目的积累

1.线性代数必背公式(更新中)

1.1 关于行列式、逆矩阵、伴随矩阵、转置矩阵计算公式大总结

几点注意：

1.行列式可以提一行k，但是矩阵不行，矩阵提k，是整个矩阵的每一个元素都提出k。

1.2 矩阵秩的大总结

1.3 分块矩阵大总结

• 分块矩阵的行列式
• 分块矩阵的乘法
• 分块矩阵的逆矩阵
• 分块矩阵的转置
• 分块矩阵的逆矩阵
• 分块矩阵的秩
• 分块矩阵的初等变换

1.4 秩一矩阵大总结

2.线代计算技巧总结

2.1 快速计算三阶行列式

如何快速计算三阶行列式，当然了，这种计算方法较为适用于含有0少的情况，如果容易展开，直接展开就行

竖着抄两行

2.2 快速判断三阶矩阵的秩

核心思想:枚举法

一个三阶矩阵，秩的情况，无非就是0，1，2，3

0和1这两种情况能看出来

所以重点在于判断2和3的情况，用行列式判断

行列式=0，秩=2，行列式≠0，秩为3

2.3 快速计算伴随矩阵

1.按照计算行列式的方法，先竖着补两列，再抄写第一行和第二行，放在下面

2.去掉第一行，第一列

3.算二阶行列式，竖着算，横着写

2.4 快速计算逆矩阵

A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{ - 1} = \frac{1}{\left|A\right|}A^{*} A−1=∣A∣1A∗

用快速计算伴随矩阵的方法计算逆矩阵

2.5 快速计算特征值

写出特征多项式，然后通过试根，化为乘积的形式，即可得到特征值

2.6 快速特征向量

|A-λE|α=0, α是特征向量，不等于0，又因为最后的结果等于0，所以，不难得出，A-λE这个矩阵肯定是不可逆的。

在计算特征向量时，就是解齐次线性方程组，这个过程中，由于A-λE不可逆，他肯定不是满秩的，所以可以任意划掉一行，再计算特征向量

2.7 快速计算求两个向量的正交向量

横着将两个向量抄两遍，去掉第一列，去掉最后一列。

计算三个二阶行列式

3.综合题总结

3.1 求|A|的代数余子式之和A₁₁+A₁₂+A₁₃

题眼分析:

涉及到代数余子式，考虑行列式或伴随矩阵

A₁₁+A₁₂+A₁₃不是按行或者按列展开，所以应该考虑伴随矩阵

3.2 【计算行列式】与特征值结合

特征值和行列式的联系：

1.通过特征值定义，根据行列式=0，得到矩阵A的某个特征值

2.矩阵A特征值之积=矩阵的行列式

3.3 【计算行列式】与可逆矩阵充当除法结合

3.4 【简单常识】反求矩阵A

方法1:

已知：p^-1Ap=对角阵，求矩阵A

求对角阵的特征值特征向量，A=p对角阵p^-1

转换为矩阵乘法

假如这个A是实对称矩阵，还可以p^-1=p^T,A=p对角阵p^T

方法2:

3.5 【简单常识】矩阵方程意味着特征值方程

3.6 【经典例题】使用传递性求可逆矩阵存在可逆矩阵P，使得P^-1BP=对角阵

在某些稍微复杂的题目中

给出A^-1BA=C,意味着C和B相似，C～对角阵

又经过计算B～对角矩阵

所以B也相似于这个对角矩阵，它们的特征值是相同，注意相似特征向量不一定相同。

求可逆矩阵P使得P^-1BP=对角阵

P₁^-1CP₁=对角阵

将A^-1BA=C代入它

P₁^-1A^-1BAP₁=对角阵

所以(AP₁)^-1BAP₁=对角阵，AP₁就是P

题目来源:880 第十一章 综合解答2

3.7 将方程求解问题转换为特征值特征向量的问题

3.8 将求未知矩阵的问题转为求特征值特征向量

3.9 求可逆实对称矩阵Q，使得Q^-1AQ=A^T,找A和A^T的联系

3.10 已知p^-1Ap=B,知道B的特征值特征向量，如何求A的特征值特征向量

4.二级结论积累

二级结论不是很重要，了解会用即可。

4.1 A^m-1a≠0,A^ma=0的二级结论

A^m-1a≠0,A^ma=0,有a,Aa,A²a,A^m-1a，线性无关

进一步思考其中内核就是，Aa=0成立，A²a也成立，A²a=AAa=0。

4.2 A和A^T不同特征值的特征向量，一定正交