线性代数 - 初等变换与线性方程组联系（矩阵展示）

线性代数 - 初等变换与线性方程组联系（矩阵展示）

flyfish

只要是线性方程组（不管齐次还是非齐次），行初等变换 都是保解的等价变形工具。
行初等变换 保持线性方程组的解集不变，是等价变形；
列初等变换保持系数矩阵的等价关系（秩、行空间等不变），从列变换后方程组得到的解需要逆推回去就是原方程组的解。

一、原方程组与对应增广矩阵

原方程组（解：x1=3,x2=4x_1=3, x_2=4x1=3,x2=4）

{2x1+x2=10x1−x2=−1 \begin{cases} 2x_1 + x_2 = 10 \\ x_1 - x_2 = -1 \end{cases} {2x1+x2=10x1−x2=−1

对应增广矩阵（A‾\overline{A}A：系数矩阵AAA + 常数项列b\boldsymbol{b}b）

A‾=21⋮101−1⋮−1 \overline{A} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & \vdots & 10 \\ 1 & -1 & \vdots & -1 \end{bmatrix} A= 211−1⋮⋮10−1

二、初等行变换（同步变矩阵行+方程组方程，解不变）

1. 行交换 R1↔R2R_1 \leftrightarrow R_2R1↔R2

矩阵变换：交换增广矩阵第1、2行
21⋮101−1⋮−1→R1↔R21−1⋮−121⋮10 \begin{bmatrix} 2 & 1 & \vdots & 10 \\ 1 & -1 & \vdots & -1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_1 \leftrightarrow R_2} \begin{bmatrix} 1 & -1 & \vdots & -1 \\ 2 & 1 & \vdots & 10 \end{bmatrix} 211−1⋮⋮10−1 R1↔R2 12−11⋮⋮−110

对应方程组：
{x1−x2=−12x1+x2=10 \begin{cases} x_1 - x_2 = -1 \\ 2x_1 + x_2 = 10 \end{cases} {x1−x2=−12x1+x2=10

验证：解得 x1=3,x2=4x_1=3, x_2=4x1=3,x2=4，解不变。

2. 行倍乘 R2=2R2R_2=2R_2R2=2R2

矩阵变换：增广矩阵第2行乘2（非零常数）
21⋮101−1⋮−1→R2=2R221⋮102−2⋮−2 \begin{bmatrix} 2 & 1 & \vdots & 10 \\ 1 & -1 & \vdots & -1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2=2R_2} \begin{bmatrix} 2 & 1 & \vdots & 10 \\ 2 & -2 & \vdots & -2 \end{bmatrix} 211−1⋮⋮10−1 R2=2R2 221−2⋮⋮10−2

对应方程组：
{2x1+x2=102x1−2x2=−2 \begin{cases} 2x_1 + x_2 = 10 \\ 2x_1 - 2x_2 = -2 \end{cases} {2x1+x2=102x1−2x2=−2

验证：解得 x1=3,x2=4x_1=3, x_2=4x1=3,x2=4，解不变。

3. 行加减 R1=R1+R2R_1=R_1 + R_2R1=R1+R2

矩阵变换：增广矩阵第2行加到第1行
21⋮101−1⋮−1→R1=R1+R230⋮91−1⋮−1 \begin{bmatrix} 2 & 1 & \vdots & 10 \\ 1 & -1 & \vdots & -1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_1=R_1+R_2} \begin{bmatrix} 3 & 0 & \vdots & 9 \\ 1 & -1 & \vdots & -1 \end{bmatrix} 211−1⋮⋮10−1 R1=R1+R2 310−1⋮⋮9−1

对应方程组：
{3x1=9x1−x2=−1 \begin{cases} 3x_1 = 9 \\ x_1 - x_2 = -1 \end{cases} {3x1=9x1−x2=−1

验证：解得 x1=3,x2=4x_1=3, x_2=4x1=3,x2=4，解不变。

三、初等列变换（仅变矩阵系数列，常数项列不动，换变量还原解）

1. 列交换 C1↔C2C_1 \leftrightarrow C_2C1↔C2

矩阵变换：仅交换增广矩阵系数部分第1、2列（常数项列不动）
21⋮101−1⋮−1→C1↔C212⋮10−11⋮−1 \begin{bmatrix} 2 & 1 & \vdots & 10 \\ 1 & -1 & \vdots & -1 \end{bmatrix} \xrightarrow{C_1 \leftrightarrow C_2} \begin{bmatrix} 1 & 2 & \vdots & 10 \\ -1 & 1 & \vdots & -1 \end{bmatrix} 211−1⋮⋮10−1 C1↔C2 1−121⋮⋮10−1

变量替换：新变量
z=(z1,z2)\boldsymbol{z}=(z_1,z_2)z=(z1,z2)，
z1=x2、z2=x1z_1=x_2、z_2=x_1z1=x2、z2=x1

（逆替换 x1=z2、x2=z1x_1=z_2、x_2=z_1x1=z2、x2=z1）

对应新方程组（全用新变量(z)）：
{z1+2z2=10−z1+z2=−1 \begin{cases} z_1 + 2z_2 = 10 \\ -z_1 + z_2 = -1 \end{cases} {z1+2z2=10−z1+z2=−1

验证：解新方程组，两式相加得 3z2=9⇒z2=33z_2=9 \Rightarrow z_2=33z2=9⇒z2=3，代入得 z1=4z_1=4z1=4；逆替换 x1=z2=3、x2=z1=4x_1=z_2=3、x_2=z_1=4x1=z2=3、x2=z1=4，还原原解。

2. 列倍乘 C2=2C2C_2=2C_2C2=2C2

矩阵变换：仅将增广矩阵系数部分第2列乘2（常数项列不动）
21⋮101−1⋮−1→C2=2C222⋮101−2⋮−1 \begin{bmatrix} 2 & 1 & \vdots & 10 \\ 1 & -1 & \vdots & -1 \end{bmatrix} \xrightarrow{C_2=2C_2} \begin{bmatrix} 2 & 2 & \vdots & 10 \\ 1 & -2 & \vdots & -1 \end{bmatrix} 211−1⋮⋮10−1 C2=2C2 212−2⋮⋮10−1

变量替换：

z1=x1,z2=x22⇒x2=2z2(逆替换) z_1 = x_1, \quad z_2 = \dfrac{x_2}{2} \quad \Rightarrow \quad x_2 = 2z_2 \quad \text{(逆替换)} z1=x1,z2=2x2⇒x2=2z2(逆替换)

对应新方程组（全用新变量(z)）：

{2z1+2z2=10z1−2z2=−1 \begin{cases} 2z_1 + 2z_2 = 10 \\ z_1 - 2z_2 = -1 \end{cases} {2z1+2z2=10z1−2z2=−1

化简并求解：
{z1+z2=5(第①式除以2)z1−2z2=−1(第②式) \begin{cases} z_1 + z_2 = 5 \quad (第①式除以2) \\6pt z_1 - 2z_2 = -1 \quad (第②式) \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧z1+z2=5(第①式除以2)z1−2z2=−1(第②式)

② − ① 得：
(z1−2z2)−(z1+z2)=−1−5⇒−3z2=−6⇒z2=2 (z_1 - 2z_2) - (z_1 + z_2) = -1 - 5 \quad \Rightarrow \quad -3z_2 = -6 \quad \Rightarrow \quad z_2 = 2 (z1−2z2)−(z1+z2)=−1−5⇒−3z2=−6⇒z2=2

代入 ①：
z1+2=5⇒z1=3 z_1 + 2 = 5 \quad \Rightarrow \quad z_1 = 3 z1+2=5⇒z1=3

逆替换回原变量 ：
x1=z1=3,x2=2z2=2×2=4 x_1 = z_1 = 3, \quad x_2 = 2z_2 = 2 \times 2 = 4 x1=z1=3,x2=2z2=2×2=4

3. 列加减 C1=C1+C2C_1=C_1 + C_2C1=C1+C2

矩阵变换：仅将增广矩阵系数部分第2列加到第1列（常数项列不动），原系数矩阵第1列(2,1) + 第2列(1,-1) = 新第1列(3,0)，矩阵变换正确：
21⋮101−1⋮−1→C1=C1+C231⋮100−1⋮−1 \begin{bmatrix} 2 & 1 & \vdots & 10 \\ 1 & -1 & \vdots & -1 \end{bmatrix} \xrightarrow{C_1=C_1+C_2} \begin{bmatrix} 3 & 1 & \vdots & 10 \\ 0 & -1 & \vdots & -1 \end{bmatrix} 211−1⋮⋮10−1 C1=C1+C2 301−1⋮⋮10−1

变量关系
x1=z1,x2=z1+z2 x_1 = z_1,\qquad x_2 = z_1 + z_2 x1=z1,x2=z1+z2
x1x2=1011z1z2  ⟹  {x1=z1x2=z1+z2（逆替换：z1=x1,  z2=x2−x1） \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \end{bmatrix} \implies \begin{cases} x_1 = z_1 \\ x_2 = z_1 + z_2 \end{cases} \quad \text{（逆替换：} z_1 = x_1,\; z_2 = x_2 - x_1\text{）} x1x2=1101z1z2⟹{x1=z1x2=z1+z2（逆替换：z1=x1,z2=x2−x1）

对应新方程组（全用新变量(z)，直接匹配变换后矩阵系数）：
{3z1+z2=100z1−z2=−1 \begin{cases} 3z_1 + z_2 = 10 \\ 0z_1 - z_2 = -1 \end{cases} {3z1+z2=100z1−z2=−1

新方程组就是：
{3z1+1z2=100z1−1z2=−1  ⟹  {z2=13z1+1=10  ⟹  z1=3 \begin{cases} 3z_1 + 1z_2 = 10 \\ 0z_1 -1z_2 = -1 \end{cases} \implies \begin{cases} z_2 = 1 \\ 3z_1 + 1 = 10 \implies z_1 = 3 \end{cases} {3z1+1z2=100z1−1z2=−1⟹{z2=13z1+1=10⟹z1=3

逆替换：
x1=z1=3,x2=z1+z2=3+1=4 x_1 = z_1 = 3, \quad x_2 = z_1 + z_2 = 3 + 1 = 4 x1=z1=3,x2=z1+z2=3+1=4