目录
[1.1 案例](#1.1 案例)
[1.2 指派问题的标准形式](#1.2 指派问题的标准形式)
[2.2 非标准形式的指派问题](#2.2 非标准形式的指派问题)
[2.1 匈牙利解法的一般步骤](#2.1 匈牙利解法的一般步骤)
[2.2 匈牙利解法的实例](#2.2 匈牙利解法的实例)
[2.3 代码实现](#2.3 代码实现)
一、0-1型整数规划问题
1.1 案例
投资问题：
有600万元投资5个项目，收益如表，求利润最大的方案?
设置决策变量：
模型：
指派问题：
甲乙丙丁四个人，ABCD四项工作，要求每人只能做一项工作，每项工作只由一人完成，问如何指派总时间最短?
设置决策变量：
模型：
约束条件：
1.2 指派问题的标准形式
标准的指派问题：
有n个人和n项工作，已知第i个人做第j项工作的代价为cj(i,j=1,.....,n),要求每项工作只能交与其中一人完成，每个人只能完成其中一项工作，问如何分配可使总代价最少?
指派问题标准求解形式：
（1） 指派问题的系数矩阵
（2）决策变量的设置
（3）指派问题的解矩阵
指派问题的可行解中，每行每列有且仅有一个1。
（4）标准模型
2.2 非标准形式的指派问题
（1）最大化指派问题
例如：求利润，只需找出最大元素，令最大元素减去所有元素，构建一个新的系数矩阵即可。
中最大元素为m，令 
。
（2）人数和工作数不等
人少工作多：添加虚拟的 "人"，代价都为0。
人多工作少：添加虚拟的工作，代价都为0。
（3）一个人可做多件工作
该人可化为几个相同的 "人"。
（4）某工作一定不能由某人做
该人做该工作的相应代价取足够大M。例如，将某人做某工作代价设为负值。
二、指派问题的匈牙利解法
匈牙利法是一种求解指派问题的简便解法，它利用了矩阵中0元素的定理。若从系数矩阵的一行(列)各元素中分别减去该行(列)的最小元素，得到新矩阵。以新矩阵为系数矩阵求得的最优解和用原矩阵求得的最优解相同。
2.1 匈牙利解法的一般步骤
第一步 ：变换指派问题的系数(也称效率)矩阵(
)为(
)，使在(
)的各行各列中都出现0元素，即
- (1) 从矩阵(
)的每行元素都减去该行的最小元素。 - (2) 再从所得新系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素。
第二步：进行试指派，以寻求最优解。
在(
)中找尽可能多的独立0元素（即行和列中只有这一个0元素），若能找出n个独立0元素，就以这n个独立0元素对应解矩阵(
)中的元素为1，其余为0，这就得到最优解。找独立0元素，常用的步骤为：
- (1) 从只有一个0元素的行开始，给这个0元素加圈，记作
，然后划去
所在列的其它0元素，记作
。这表示这列所代表的任务已指派完，不必再考虑别人了。 - (2) 给只有一个0元素的列中的0元素加圈，记作
，然后划去
所在行的0元素，记作
。 - (3) 反复进行(1)，(2)两步，直到尽可能多的0元素都被圈出和划掉为止。
- (4) 若仍有没有划圈的0元素，且同行(列)的0元素至少有两个，则从剩有0元素最少的行(列)开始，比较这行各0元素所在列中0元素的数目，选择0元素少的那列的这个0元素加圈。然后划掉同行同列的其它0元素。可反复进行，直到所有0元素都已圈出和划掉为止。
- (5) 若
元素的数目m等于矩阵的阶数n，那么这指派问题的最优解已得到。若m<n,则转入下一步。
第三步：作最少的直线覆盖所有0元素。
- (1) 对没有
的行打√号; - (2) 对已打√号的行中所有含
元素的列打√号。 - (3) 再对打有√号的列中含
元素的行打√号。 - (4) 重复(2)，(3)直到得不出新的打√号的行、列为止。
- (5) 对没有打√号的行画横线，有打√号的列画纵线，这就得到覆盖所有0元素的最少直线数
。 
应等于m，转第四步。若不相等，说明试指派过程有误，回到第二步(4)。
第四步 ：变换矩阵(
)以增加0元素。
在没有被直线覆盖的所有元素中找出最小元素，然后打√各行都减去这最小元素。打√各列都加上这最小元素（以保证系数矩阵中不出现负元素）。新系数矩阵的最优解和原问题仍相同。转回第二步，直到找出最优解。
2.2 匈牙利解法的实例
甲乙丙丁四人要完成四项工作A、B、C、D，每人只能完成一项工作，要求完成总时间最短。
匈牙利解法：
第一步：减去最小值。
第二步：加圈和划掉，比较圈数是否等于矩阵的阶数。
等于，则输出最优值， 否则，转到第三步重整矩阵。
2.3 代码实现
Matlab
c=[3 8 2 10 3;8 7 2 9 7;6 4 2 7 5; 8 4 2 3 5;9 10 6 9 10];%系数矩阵
c=c(:); %把矩阵c转化为向量
a=zeros(10,25);
for i=1:5 % 实现循环运算
a(i,(i-1)*5+1:5*i)=1;
a(5+i,i:5:25)=1;
end % 此循环把指派问题转换为线性规划问题
b=ones(10,1);
[x,y]=linprog(c,[],[],a,b,zeros(25,1),ones(25,1));
X=reshape(x,5,5)
opt=y输出：
