二次型相关概念

二次型

含有n个变量 x 1 , x 2 , . . . x n x_1,x_2,...x_n x1,x2,...xn的二次齐次函数:
f ( x 1 , x 2 , . . . x n ) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + . . . + a n n x n 2 + 2 a 12 x 1 x 2 + 2 a 13 x 1 x 3 + . . . + 2 a n − 1 , n x n − 1 x n f(x_1,x_2,...x_n)=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+...+a_{nn}x_n^2+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+...+2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n f(x1,x2,...xn)=a11x12+a22x22+...+annxn2+2a12x1x2+2a13x1x3+...+2an−1,nxn−1xn

称为二次型。

二次型的标准形和规范形

f = k 1 y 1 2 + k 2 y 2 2 + . . . + k n y n 2 f=k_1y_1^2+k_2y_2^2+...+k_ny_n^2 f=k1y12+k2y22+...+knyn2

这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准形 。

如果二次型的标准形形如：
f = y 1 2 + . . . + y p 2 − y p + 1 2 − . . . − y r 2 f = y_1^2+...+y_p^2-y_{p+1}^2-...-y_r^2 f=y12+...+yp2−yp+12−...−yr2

即系数只有-1,1,0三个取值，称为二次型的规范形。

表示形式

f ( x 1 , x 2 , . . . x n ) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + . . . + a n n x n 2 + 2 a 12 x 1 x 2 + 2 a 13 x 1 x 3 + . . . + 2 a n − 1 , n x n − 1 x n f(x_1,x_2,...x_n)=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+...+a_{nn}x_n^2+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+...+2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n f(x1,x2,...xn)=a11x12+a22x22+...+annxn2+2a12x1x2+2a13x1x3+...+2an−1,nxn−1xn

取 a i j = a j i a_{ij}=a_{ji} aij=aji（对称矩阵），则 2 a i j x i x j = a i j x i x j + a j i x j x i 2a_{ij}x_ix_j=a_{ij}x_ix_j+a_{ji}x_jx_i 2aijxixj=aijxixj+ajixjxi，于是
f = ∑ i , j = 1 n a i j x i x j = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) ( x 1 x 2 ⋮ x n ) = x T A x f=\sum_{i,j=1}^na_{ij}x_ix_j = (x_1,x_2,...,x_n)\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=x^TAx f=i,j=1∑naijxixj=(x1,x2,...,xn) a11a21⋯an1a12a22⋯an2⋯⋯⋯⋯a1na2n⋯ann x1x2⋮xn =xTAx

把对称矩阵A叫做二次型f的矩阵 ，f叫做对称矩阵A的二次型，对称矩阵A的秩叫做二次型f的秩

合同矩阵与合同变换

设有可逆线性变换x=Cy，将x=Cy代入 f = x T A x f=x^TAx f=xTAx，有
f = = x T A x = ( C y ) T A ( C y ) = y T ( C T A C ) y = y T B y f==x^TAx=(Cy)^TA(Cy)=y^T(C^TAC)y=y^TBy f==xTAx=(Cy)TA(Cy)=yT(CTAC)y=yTBy

理解：线性变换后，将向量的坐标由x变换为了y，令原坐标系为 E = ( e 1 , e 2 , . . . , e n ) E=(e_1,e_2,...,e_n) E=(e1,e2,...,en)，变换之后， E C = C EC=C EC=C，过渡矩阵为C，则新基为 C = ( c 1 , c 2 , . . . , c n ) C=(c_1,c_2,...,c_n) C=(c1,c2,...,cn)，向量在新基下的坐标为y, y = C − 1 x y=C^{-1}x y=C−1x是坐标变换公式

定义合同

设A与B为n阶方阵，若有可逆矩阵C，使 B = C T A C B=C^TAC B=CTAC，则称矩阵A与B合同

本质：是同一个二次型在不同基下的矩阵，对比相似矩阵，相似矩阵是同一个线性变换在不同基下的表示矩阵，合同矩阵首先都是对称的，又因 B = C T A C B=C^TAC B=CTAC，C可逆，故合同矩阵又是等价的。

合同矩阵的性质

（1）自反性任意方阵A与其自身合同： E T A E = A E^TAE=A ETAE=A

（2）对称性若A与B合同，则B与A合同：若A与B合同，则存在可逆阵C使得 C T A C = B C^TAC=B CTAC=B，则 A = ( C T ) − 1 B ( C − 1 ) = ( C − 1 ) T B ( C − 1 ) A=(C^T)^{-1}B(C^{-1})=(C^{-1})^TB(C^{-1}) A=(CT)−1B(C−1)=(C−1)TB(C−1)，即B与A合同

（3）传递性若A与B合同，B与C合同，则A与C合同：由 B = C 1 T A C 1 , C = C 2 T B C 2 B=C_1^TAC_1,C=C_2^TBC_2 B=C1TAC1,C=C2TBC2，得 C = C 2 T ( C 1 T A C 1 ) C 2 = ( C 1 C 2 ) T A ( C 1 C 2 ) C=C_2^T(C_1^TAC_1)C_2=(C_1C_2)^TA(C_1C_2) C=C2T(C1TAC1)C2=(C1C2)TA(C1C2)，故A与C合同。

等价、相似、合同三种关系的对比

等价

A经过若干次初等行变换或初等列变换得到B，则A与B等价 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ 存在可逆阵P,A，使 P A Q = B PAQ=B PAQ=B成立

相似

A与B相似 ⇔ \Leftrightarrow ⇔存在可逆阵P，使 P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P−1AP=B。(同一个线性变换在不同基下的表示矩阵)

合同

A与B合同 ⇔ \Leftrightarrow ⇔存在可逆阵P，使 P T A P = B P^TAP=B PTAP=B。(同一个二次型在不同可逆线性变换下的矩阵)

通过以上三个定义可以看出，相似矩阵一定是等价矩阵，合同矩阵一定是等价矩阵．但等价矩阵不一定是相似矩阵，也不一定是合同矩阵．

第七章，相似矩阵及其应用，3-二次型、合同矩阵与合同变换