代码随想录算法训练营Day45 | 70. 爬楼梯 (进阶) | 322. 零钱兑换 | 279. 完全平方数

文章目录

  • [70. 爬楼梯 (进阶)](#70. 爬楼梯 (进阶))
  • [322. 零钱兑换](#322. 零钱兑换)
  • [279. 完全平方数](#279. 完全平方数)

70. 爬楼梯 (进阶)

题目链接 | 理论基础

以完全背包的思路来解题,正如组合总和 Ⅳ 中提到的一样。在本题中,先背包后物品的思路就显得非常合理明显了。

本题中的物品就是可以行走的步数 [1, 2],重量是 n,可以重复选取步数,求走到第 n 层有多少种走法。这样抽象过后,就和组合总和 Ⅳ 一样是求排列了。

  1. dp 的下标含义:dp[j] 是到达第 j 层的方法数
  2. dp 递推公式:dp[j] += dp[j - i]
  3. dp 数组的初始化:根据递推公式可以得知 dp[0]=1 是必须的,也符合前两层的结果,其他的初始化为 0。
  4. dp 遍历顺序:需要得到排列结果,先背包后物品(在爬楼梯的背景下就很合理)
  5. 举例推导:省略
python 复制代码
class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        choices = [1, 2]
        # dp[i] represents the number of ways to reach position i
        dp = [0] * (n+1)
        dp[0] = 1

        # dp formula
        for j in range(n+1):
            for i in range(len(choices)):
                if j >= choices[i]:
                    dp[j] += dp[j-choices[i]]

        return dp[-1]

本题看上去是个简单的爬楼梯,但实际上是个简单的完全背包,重要的是可以考验对物品和背包的遍历顺序的理解。事实上,以后遇到排列的完全背包问题,以爬楼梯的思路来理解会非常有效!

322. 零钱兑换

题目链接 | 理论基础

本题和 零钱兑换II 非常相似,依然是典型的完全背包问题。区别在于,零钱兑换II 需要组合数,这就规定了滚动数组的遍历顺序;本题只需要最小组合数,而不在乎得到该最小数的方式是组合或是排列。

二维数组

  1. dp 数组的下标含义:dp[i][j],使用硬币 [0, i] 组成金额 j 所使用的最小硬币数

  2. dp 递推公式:dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-coins[i]] + 1)

  3. dp 的初始化:本题的大坑

    • 二维数组的初始化中 ,coins[0](i=0)和 j=0 的情况是比较容易想到的:
      • 只能使用一个硬币时,只有该硬币面值的整数倍金额 j 会初始化为 j // coins[0]
      • 当金额为 0 的时候,不管有多少硬币可以使用,都只需要 0 个硬币即可达成金额 0
    • 那些不需要特殊初始化的位置才是需要小心的!
      • 由于题目要求"无法构成金额的情况返回 -1",自然想到应该优先把所有值初始化为 -1。这么做就会有下面第一种复杂的解法,要考虑 min() 中每个元素为 -1 的情况,堪称崩溃。
      • 由于 min() 的特性,最好的初始化应该是 float('inf'),这样不会影响后续的递推,也不会影响初始化,只需要在最后检查结果是否是 float('inf') 即可。
      • 如果被题目默认的初始化条件所迷惑,而没有认识到 min() 的需求,那就会踩坑(虽然也能解决问题)。
  4. dp 的遍历顺序:由于不需要排列,二维数组可以解决,物品和背包的顺序无所谓。

  5. 举例推导:coins = [1, 2, 5], amount = 5

    0 1 2 3 4 5
    1 0 1 2 3 4 5
    2 0 1 1 2 2 3
    5 0 1 1 2 2 1
python 复制代码
class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        # dp[i][j] represents the smallest number to make j using coins [0, i]
        dp = [[-1] * (amount + 1) for _ in range(len(coins))]
        for j in range(amount + 1):
            if j % coins[0] == 0:
                dp[0][j] = j // coins[0]
        for i in range(len(coins)):
            dp[i][0] = 0
        
        # dp formula
        for i in range(1, len(coins)):
            for j in range(amount + 1):
                if j < coins[i]:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j]
                else:
                    if dp[i-1][j] >= 0 and dp[i][j-coins[i]] >= 0:
                        dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-coins[i]] + 1)
                    elif dp[i-1][j] == -1 and dp[i][j-coins[i]] >= 0:
                        dp[i][j] = dp[i][j-coins[i]] + 1
                    elif dp[i-1][j] >= 0 and dp[i][j-coins[i]] == -1:
                        dp[i][j] = dp[i-1][j]
                    else:
                        dp[i][j] = -1
        
        return dp[-1][-1]

正确初始化的解法

python 复制代码
class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        # dp[i][j] represents the smallest number to make j using coins [0, i]
        dp = [[float('inf')] * (amount + 1) for _ in range(len(coins))]
        for j in range(amount + 1):
            if j % coins[0] == 0:
                dp[0][j] = j // coins[0]
        for i in range(len(coins)):
            dp[i][0] = 0
        
        # dp formula
        for i in range(1, len(coins)):
            for j in range(amount + 1):
                if j < coins[i]:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j]
                else:
                    dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-coins[i]] + 1)

        return dp[-1][-1] if dp[-1][-1] != float('inf') else -1

滚动数组

之前做过的几道完全背包,先物品后背包 是求组合种类问题,先背包后物品是求排列种类问题。如上所述,本题只要求满足金额的硬币数,不在意满足金额的结果的顺序,所以物品、背包的遍历顺序都可以。

python 复制代码
class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        # dp[i][j] represents the smallest number to make j using coins [0, i]
        dp = [-1] * (amount + 1)
        dp[0] = 0
        
        # dp formula
        for i in range(len(coins)):
            for j in range(amount + 1):
                if j >= coins[i]:
                    if dp[j] >= 0 and dp[j-coins[i]] >= 0:
                        dp[j] = min(dp[j], dp[j-coins[i]] + 1)
                    elif dp[j] == -1 and dp[j-coins[i]] >= 0:
                        dp[j] = dp[j-coins[i]] + 1
                    elif dp[j] >= 0 and dp[j-coins[i]] == -1:
                        dp[j] = dp[j]
                    else:
                        dp[j] = -1
        
        return dp[-1]

正确初始化的解法

python 复制代码
class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        # dp[i][j] represents the smallest number to make j using coins [0, i]
        dp = [float('inf')] * (amount + 1)
        dp[0] = 0
        
        # dp formula
        for i in range(len(coins)):
            for j in range(amount + 1):
                if j >= coins[i]:
                    dp[j] = min(dp[j], dp[j-coins[i]] + 1)
        
        return dp[-1] if dp[-1] != float('inf') else -1

279. 完全平方数

题目链接 | 理论基础

本题乍一看和完全背包没什么关系。将完全平方数 1,4,9 ... 看作是物品,n 看作是背包容量的话,就又是一道标准的完全背包问题:求填满背包使用的最少物品数。抽象过后,本题和上一题几乎是一模一样。

唯一的区别在于,由于 n 的范围很大,在 n 取较大值的时候会耗时较长。二维数组会直接超时,而滚动数组也需要直接利用更新范围来减少遍历时间。这也是第一道二维数组无法解题的背包问题。

python 复制代码
class Solution:
    def numSquares(self, n: int) -> int:
        # dp[j] represents the number of ways to make j
        dp = [float('inf')] * (n+1)
        dp[0] = 0
        
        max_sqrt_num = int(sqrt(n))
        # dp formula
        for i in range(max_sqrt_num):
            for j in range((i+1) * (i+1), n+1):
                dp[j] = min(dp[j], dp[j-(i+1)*(i+1)] + 1)

        return dp[-1]
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