Scipy基础--积分和微分方程

对于手工计算来说,积分计算是非常困难的,对于一些简单的函数,我们可以直接通过已知的积分公式来求解,但在更多的情况下,原函数并没有简单的表达式,因此确定积分的反函数变得非常困难。

另外,相对于微分运算来说,积分运算则具有更多的多样性,包括不同的积分方法(如换元积分法、分部积分法等)和积分技巧,需要根据具体的函数形式选择合适的方法,这增加了积分运算的复杂性。

而微分运算有一条基本的规则,即导数运算具有线性性质,可以通过求导法则来简化计算。

Scipy库的积分 子模块为我们提供了便捷的积分和微分方程计算接口。

利用Scipy,进行数学或科学研究时,可以把更多的时间花在原理和推导上,计算过程交由Scipy去处理。

1. 主要功能

Scipy的积分模块主要用于进行数学方程的求解和过程控制。

该模块提供了一组函数,可以用于求解一元和多元函数的导数、积分、二阶导数和偏导数等。

此外,该模块还提供了一些用于过程控制和优化的函数。

此模块的函数主要分为以下几类:

  1. 针对函数对象的积分
  2. 针对固定样本的积分
  3. 常微分方程

总之,scipy.integrate模块提供了丰富的函数和算法,用于解决各种数学问题和过程控制问题。

下面通过一些示例来了解其使用方法。

2. 积分运算

2.1. 一重积分

比如计算曲线 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> y = e − x y = e^{-x} </math>y=e−x在 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> − 0.75 ⩽ x ⩽ 0.5 -0.75 \leqslant x \leqslant 0.5 </math>−0.75⩽x⩽0.5范围内的面积。

也就是计算积分: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ∫ − 0.75 0.5 e − x d x \int_{-0.75}^{0.5}e^{-x}dx </math>∫−0.750.5e−xdx

python 复制代码
from scipy.integrate import quad
y = lambda x: np.exp(-x)
integral, integral_err = quad(y, -0.75, 0.5)

print("面积为:{}".format(integral))
# 运行结果
面积为:1.5104693569000414

2.2. 二重积分

所谓二重积分,就是积分变量有两个,依次在两个变量上积分得出最终的结果。

比如,对于函数: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> z = x 2 + y 2 z = x^2 + y^2 </math>z=x2+y2,相当于如下的三维曲面

计算上面的曲面在 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> − 2 ⩽ x ⩽ 2 -2 \leqslant x \leqslant 2 </math>−2⩽x⩽2且 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> − 1 ⩽ y ⩽ 1 -1 \leqslant y \leqslant 1 </math>−1⩽y⩽1情况下,与XY平面所包围的体积。

即: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ∫ − 2 2 ∫ − 1 1 ( x 2 + y 2 ) d y d x \int_{-2}^2\int_{-1}^1(x^2+y^2)dydx </math>∫−22∫−11(x2+y2)dydx

python 复制代码
from scipy.integrate import dblquad

integrand = lambda y, x: x**2 + y**2
integral, integral_error = dblquad(integrand, -2, 2, -1, 1)

print("体积为:{}".format(integral))
# 运行结果
体积为:13.333333333333334

这个示例中的曲面在X平面Y平面 上是对称的,计算二重积分时,先积分x,还是先积分y,结果是一样的。

也就是: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ∫ − 2 2 ∫ − 1 1 ( x 2 + y 2 ) d y d x = ∫ − 2 2 ∫ − 1 1 ( x 2 + y 2 ) d x d y \int_{-2}^2\int_{-1}^1(x^2+y^2)dydx = \int_{-2}^2\int_{-1}^1(x^2+y^2)dxdy </math>∫−22∫−11(x2+y2)dydx=∫−22∫−11(x2+y2)dxdy

其他的曲面不一定是对称的,所以二重积分时一定要注意积分的顺序

3. 常微分方程求解

常微分方程是一类以未知函数和其导数为主要研究对象的数学方程,适合描述不断变化的场景。

3.1. 一元常微分方程

比如计算物体速度的时候,如果加速度恒定,根据牛顿运动定律,很容易就能计算出速度时间 的关系。

但是若加速度也会不断变化的话,如何确定速度和时间的关系呢?

比如假设加速度速度和时间 变化的关系是: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> a = v + 3 t a = v+3t </math>a=v+3t

因为加速度也可以表示为: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> a = d v d t a = \frac{dv}{dt} </math>a=dtdv,也就是速度对时间的微分,即: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> a = v ′ a = v' </math>a=v′。

这样,就得到: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> a = d v d t = v ′ = v + 3 t a = \frac{dv}{dt} = v' = v+3t </math>a=dtdv=v′=v+3t,其中, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> v ′ = v + 3 t v' = v+3t </math>v′=v+3t就是一个常微分方程

假设时间t0时,速度v 也为0,则得到: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> v ′ − v − 3 t = 0 , v ( 0 ) = 0 v'-v-3t=0, v(0)=0 </math>v′−v−3t=0,v(0)=0

下面利用Scipy来求解这个一元常微分方程

python 复制代码
from scipy.integrate import odeint

# v是速度,t是时间
def dvdt(v, t):
    return v + 3*t

v0 = 0
t = np.linspace(0, 1, 100)

# 结果res是 N行1列的二维数组(因为是一元方程)
res = odeint(dvdt, v0, t)

# 转置之后第一行就是各个时间点的速度
res_v = res.T[0]

# 绘制速度和时间的关系
plt.plot(t, res_v)
plt.show()

图中曲线的斜率就是加速度 ,可以看出加速度是随时间不断变大的。

3.2. 二元常微分方程组

对于二元常微分方程组,同样也可以用 scipy 来求解。

比如如下方程组:
\begin{align*} & y_1' = y_1 + y_2^2 - 5x \quad & y_1(0)=0\\ & y_2' = 2y_1 + y_2^3 + sin(x) \quad & y_2(0)=0 \end{align*}

求解方法:

python 复制代码
from scipy.integrate import odeint

# 创建方程组
def dSdx(S, x):
    y1, y2 = S
    return [
        y1 + y2**2 - 5 * x,
        2 * y1 + y2**3 + np.sin(x),
    ]

# 方程组初始值
y1_0 = 0
y2_0 = 0
S_0 = (y1_0, y2_0)

x = np.linspace(0, 1, 100)
sol = odeint(dSdx, S_0, x)

y1_sol = sol.T[0]
y2_sol = sol.T[1]

# 分别绘制y1,y2和x的关系
plt.plot(x, y1_sol, label="y1")
plt.plot(x, y2_sol, label="y2")
plt.legend()
plt.show()

4. 总结

积分常微分方程 算是应用非常广,但手工计算非常麻烦的两种数学工具,

在学校学习高等数学的时候应该没少吃过这两种计算的苦。

有了Scipy的帮助,则可以摆脱这类复杂计算带来的痛苦,让我们可以专注于创建解决问题的方程。

相关推荐
用户Taobaoapi20141 天前
微店API秘籍!轻松获取商品详情数据
大数据·数据挖掘·数据分析
jay神1 天前
基于Python的商品爬取与可视化系统
爬虫·python·数据分析·毕业设计·可视化系统
Aloudata技术团队1 天前
当“数据波动”遇上“智能归因”,谁在背后画出那张因果地图?
数据分析·agent
华科云商xiao徐1 天前
如何在C语言环境中借助Linux库构建高效网络爬虫
爬虫·数据挖掘·数据分析
赵谨言1 天前
基于数据挖掘的单纯冠心病与冠心病合并糖尿病的证治规律对比研究
经验分享·数据挖掘·毕业设计
赵谨言1 天前
基于大数据挖掘的药品不良反应知识整合与利用研究
经验分享·数据挖掘·毕业设计
胡耀超1 天前
7、Matplotlib、Seaborn、Plotly数据可视化与探索性分析(探索性数据分析(EDA)方法论)
python·信息可视化·plotly·数据挖掘·数据分析·matplotlib·seaborn
Twilight-pending2 天前
计算机系统性能、架构设计、调度策略论文分类体系参考
人工智能·云原生·分类·数据挖掘
计算机学姐2 天前
基于Python的旅游数据分析可视化系统【2026最新】
vue.js·后端·python·数据分析·django·flask·旅游
阿里云大数据AI技术2 天前
淘宝闪购实时分析黑科技:StarRocks + Paimon撑起秋天第一波奶茶自由
数据分析