13 最大子数组和

最大子数组和

• 本题适合动态规划的原因
• • [题解1 不标准动态规划（标准参考labuladong）](#题解1 不标准动态规划（标准参考labuladong）)
  • [题解2 优化DP（前缀和）](#题解2 优化DP（前缀和）)
  • [题解3 分治（有时间撸）](#题解3 分治（有时间撸）)

本题适合动态规划的原因

本题接的重点在

1. 理解题意

   题目只要求返回结果，不要求得到最大的连续子数组是哪一个，一般用DP解决

2. 如何定义子问题 （如何定义状态）

   存在不确定性的子问题 like：（经过 ------ 位置不确定 ------ start end不确定）

   确定的子问题 like：
   

3. 什么是 无后效性

   为了保证计算子问题能够按照顺序、不重复地进行，动态规划要求已经求解的子问题不受后续阶段 的影响。这个条件也被叫做无后效性 。换言之，动态规划对状态空间的遍历构成一张有向无环图 ，遍历就是该有向无环图的一个拓扑序。有向无环图中的节点对应问题中的状态 ，图中的边则对应状态之间的转移 ，转移的选取就是动态规划中的决策。

题解1 不标准动态规划（标准参考labuladong）

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        const int s = nums.size();
        if(1 == s) return nums[0];
        // meaning : dp[i] : 以 nums[i]结尾的 最大子数组和 
        vector<int> dp(s);
        // base case
        dp[0] = nums[0];
        // 转移方程
        // 根据题意，i及 i以前的 可能的最大值 要么是nums[i]本身，要么是 i前最大的值 累加上 此位置的值
        // 不标准： dp[s-1]不是最后的结果
        for(int i=1; i < s; i++)
            dp[i] = max(nums[i], nums[i] + dp[i-1]);
        int maxV = INT_MIN;
        for(auto & i : dp){
            maxV = max(maxV, i);
        }
        return maxV;

    }
};

题解2 优化DP（前缀和）

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        const int s = nums.size();
        if(1 == s) return nums[0];
        int res = INT_MIN;
        int pre = 0;
        for(int i=0; i < s; i++){
            pre = max(nums[i], nums[i]+pre);
            res = max(res, pre);
        }     
        return res;
    }
};

题解3 分治（有时间撸）

不仅可以解决区间 0,n−10, n-10,n−1，还可以用于解决任意的子区间 l,rl,rl,r 的问题。如果我们把 0,n−10, n-10,n−1 分治下去出现的所有子区间的信息都用堆式存储的方式记忆化下来，即建成一棵真正的树之后，我们就可以在 O(log⁡n) 的时间内求到任意区间内的答案，我们甚至可以修改序列中的值，做一些简单的维护，之后仍然可以在 O(log⁡n)的时间内求到任意区间内的答案，对于大规模查询的情况下，这种方法的优势便体现了出来。这棵树就是上文提及的一种神奇的数据结构------线段树