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题目
Description
小学期马上就要结束了，为了检验大家的学习成果，老师进行了一次考试。然而小徐前两周半都忙于练习篮球，几乎没有学习，因此考试时很可能做不完所有题目。
但小徐仍然想要拿到尽可能高的分数，因此在做题时需要合理做出取舍。已知考试时间为
分钟，小徐希望在不超时的情况下，考出最高的分数。
设做出第
道试题用时为
, 该试题的"性价比"为
, （
为做出该题的得分 ）
若选择了
题进行作答，则所求的分数之和为
请你帮小徐算出他最高能得多少分。
Input
第一行，为2个正整数，用一个空格隔开：
,
，其中
表示总分钟数，
为考试的题目数量
从第2行到第
行，第
行给出了编号为
的题目的基本数据，每行有2个非负整数
,
.其中
表示小徐做出该题目的所用时间，
表示该题目的"性价比"。
Output
一个整数，表示小徐最高能得多少分。
Note
数据保证
，
，
，
为
| 测试输入 | 期待的输出 | 时间限制 | 内存限制 | 额外进程 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 测试用例 1 | 以文本方式显示 1. 1000 5↵ 2. 800 2↵ 3. 400 5↵ 4. 300 5↵ 5. 400 3↵ 6. 200 2↵ | 以文本方式显示 1. 3900↵ | 1秒 | 64M | 0 |
| 测试用例 2 | 以文本方式显示 1. 22415 2↵ 2. 2824 3↵ 3. 2485 3↵ | 以文本方式显示 1. 15927↵ | 1秒 | 64M | 0 |
思路
本题是动态规划中的01背包问题.
第一步：dp数组以及下标的含义
我们定义的dp数组是一个一维数组，长度为n+1;
dp[i]表示总时间为i时获得的最高分数;
换言之，dp[i]存储了用总时间为i所能获得的最高分数。
第二步：确定递推公式
递推公式为dp[j] = max(dp[j], dp[j - que[i][0]] + sco[i])，
表示要获得总时间为j的最高分数，可以选择当前题目或不选择当前题目。通过比较两种选择的得分，取得分较大的那个作为dp[j]的值。
第三步：dp数组初始化
dp数组全部初始化为0。在动态规划过程中，由于dp数组表示的是最大分数，因此初始化为0是合适的。
第四步：确定遍历顺序
在代码中，遍历的顺序是先遍历题目，再遍历总时间。
外层循环控制题目的遍历，内层循环控制总时间的遍历。
这样的遍历顺序可以确保每个题目只选一次，并且保证了在计算dp[j]时，dp[j - que[i][0]]已经被更新过（即内层循环从大到小的顺序遍历）。通过这样的遍历顺序，我们可以逐步计算出dp数组中每个位置的值，从而得到最终的最高分数。
C++完整代码（含注释）
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main() {
int n, m;
cin >> n >> m;
vector<vector<int>> que(m, vector<int>(2)); // 存储题目的时间和性价比
vector<int> sco(m); // 存储题目的得分
for (int i = 0; i < m; i++) {
cin >> que[i][0] >> que[i][1]; // 读入每个题目的时间和性价比
sco[i] = que[i][0] * que[i][1]; // 计算每个题目的得分
}
vector<int> dp(n + 1, 0); // 动态规划数组，dp[i]表示总时间为i时获得的最高分数
for (int i = 0; i < m; i++) {
for (int j = n; j >= que[i][0]; j--) {
dp[j] = max(dp[j], dp[j - que[i][0]] + sco[i]); // 状态转移方程，更新dp[j]为包括或不包括当前题目得分的最大值
}
}
cout << dp[n] << endl; // 输出最终总时间为n时获得的最高分数
return 0;
}