28.考试 - 技术栈

题目

Description

Input

Output

Note

思路

C++完整代码（含注释）

题目

Description

小学期马上就要结束了，为了检验大家的学习成果，老师进行了一次考试。然而小徐前两周半都忙于练习篮球，几乎没有学习，因此考试时很可能做不完所有题目。

但小徐仍然想要拿到尽可能高的分数，因此在做题时需要合理做出取舍。已知考试时间为

分钟，小徐希望在不超时的情况下，考出最高的分数。

设做出第

道试题用时为

, 该试题的"性价比"为

, （

为做出该题的得分）

若选择了

题进行作答，则所求的分数之和为

请你帮小徐算出他最高能得多少分。

Input

第一行，为2个正整数，用一个空格隔开：

，其中

表示总分钟数，

为考试的题目数量

从第2行到第

行，第

行给出了编号为

的题目的基本数据，每行有2个非负整数

.其中

表示小徐做出该题目的所用时间，

表示该题目的"性价比"。

Output

一个整数，表示小徐最高能得多少分。

Note

数据保证

，

，

，

为

	测试输入	期待的输出	时间限制	内存限制	额外进程
测试用例 1	以文本方式显示 1. 1000 5↵ 2. 800 2↵ 3. 400 5↵ 4. 300 5↵ 5. 400 3↵ 6. 200 2↵	以文本方式显示 1. 3900↵	1秒	64M	0
测试用例 2	以文本方式显示 1. 22415 2↵ 2. 2824 3↵ 3. 2485 3↵	以文本方式显示 1. 15927↵	1秒	64M	0

思路

本题是动态规划中的01背包问题.

第一步：dp数组以及下标的含义

我们定义的dp数组是一个一维数组，长度为n+1;

dp $i$ 表示总时间为i时获得的最高分数;

换言之，dp $i$ 存储了用总时间为i所能获得的最高分数。

第二步：确定递推公式

递推公式为dp $j$ = max(dp $j$ , dp $j - que\[i$ $0$ ] + sco $i$ )，

表示要获得总时间为j的最高分数，可以选择当前题目或不选择当前题目。通过比较两种选择的得分，取得分较大的那个作为dp $j$ 的值。

第三步：dp数组初始化

dp数组全部初始化为0。在动态规划过程中，由于dp数组表示的是最大分数，因此初始化为0是合适的。

第四步：确定遍历顺序

在代码中，遍历的顺序是先遍历题目，再遍历总时间。

外层循环控制题目的遍历，内层循环控制总时间的遍历。

这样的遍历顺序可以确保每个题目只选一次，并且保证了在计算dp $j$ 时，dp $j - que\[i$ $0$ ]已经被更新过（即内层循环从大到小的顺序遍历）。通过这样的遍历顺序，我们可以逐步计算出dp数组中每个位置的值，从而得到最终的最高分数。

C++完整代码（含注释）

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    vector<vector<int>> que(m, vector<int>(2));  // 存储题目的时间和性价比
    vector<int> sco(m);  // 存储题目的得分
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        cin >> que[i][0] >> que[i][1];  // 读入每个题目的时间和性价比
        sco[i] = que[i][0] * que[i][1];  // 计算每个题目的得分
    }
    vector<int> dp(n + 1, 0);  // 动态规划数组，dp[i]表示总时间为i时获得的最高分数
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        for (int j = n; j >= que[i][0]; j--) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - que[i][0]] + sco[i]);  // 状态转移方程，更新dp[j]为包括或不包括当前题目得分的最大值
        }
    }
    cout << dp[n] << endl;  // 输出最终总时间为n时获得的最高分数
    return 0;
}