【月度刷题计划同款】从区间 DP 到卡特兰数

题目描述

这是 LeetCode 上的 96. 不同的二叉搜索树 ，难度为中等。

Tag : 「树」、「二叉搜索树」、「动态规划」、「区间 DP」、「数学」、「卡特兰数」

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的二叉搜索树有多少种？

返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

ini 复制代码

输入：n = 3

输出：5

示例 2：

ini 复制代码

输入：n = 1

输出：1

提示：

$1 < = n < = 19 1 <= n <= 19$ 1<=n<=19

区间 DP

沿用 95. 不同的二叉搜索树 II 的基本思路，只不过本题不是求具体方案，而是求个数。

除了能用 95. 不同的二叉搜索树 II 提到的「卡特兰数」直接求解 $n n$ n 个节点的以外，本题还能通过常规「区间 DP」的方式进行求解。

求数量使用 DP，求所有具体方案使用爆搜，是极其常见的一题多问搭配。

定义 $f$ $l$ $r$ f $l$ $r$ f $l$ $r$ 为使用数值范围在 $l , r$ $l, r$ $l,r$ 之间的节点，所能构建的 BST 个数。

不失一般性考虑 $f$ $l$ $r$ f $l$ $r$ f $l$ $r$ 该如何求解，仍用 $l , r$ $l, r$ $l,r$ 中的根节点 i 为何值，作为切入点进行思考。

根据「BST 定义」及「乘法原理」可知： $l , i - 1$ $l, i - 1$ $l,i-1$ 相关节点构成的 BST 子树只能在 i 的左边，而 $i + 1 , r$ $i + 1, r$ $i+1,r$ 相关节点构成的 BST 子树只能在 i 的右边。所有的左右子树相互独立，因此以 i 为根节点的 BST 数量为 $f$ $l$ $i - 1$ × f $i + 1$ $r$ f $l$ $i - 1$ \times f $i + 1$ $r$ f $l$ $i-1$ ×f $i+1$ $r$ ，而 i 共有 $r − l + 1 r - l + 1$ r−l+1 个取值（ $i ∈$ $l , r$ i \in $l, r$ i∈ $l,r$ ）。

即有：
$f$ $l$ $r$ = ∑ i = l r ( f $l$ $i - 1$ × f $i + 1$ $r$ ) f $l$ $r$ = \sum_{i = l}^{r} (f $l$ $i - 1$ \times f $i + 1$ $r$ ) f $l$ $r$ =i=l∑r(f $l$ $i-1$ ×f $i+1$ $r$ )

不难发现，求解区间 $l , r$ $l, r$ $l,r$ 的 BST 数量 $f$ $l$ $r$ f $l$ $r$ f $l$ $r$ 依赖于比其小的区间 $l , i - 1$ $l, i - 1$ $l,i-1$ 和 $i + 1 , r$ $i + 1, r$ $i+1,r$ ，这引导我们使用「区间 DP」的方式进行递推。

不了解区间 DP 的同学，可看前置 🧀

一些细节：由于我们 i 的取值可能会取到区间中的最值 l 和 r，为了能够该情况下， $f$ $l$ $i - 1$ f $l$ $i - 1$ f $l$ $i-1$ 和 $f$ $i + 1$ $r$ f $i + 1$ $r$ f $i+1$ $r$ 能够顺利参与转移，起始我们需要先对所有满足 $i > = j i >= j$ i>=j 的 $f$ $i$ $j$ f $i$ $j$ f $i$ $j$ 初始化为 1。

Java 代码：

Java 复制代码

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[][] f = new int[n + 10][n + 10];
        for (int i = 0; i <= n + 1; i++) {
            for (int j = 0; j <= n + 1; j++) {
                if (i >= j) f[i][j] = 1;
            }
        }
        for (int len = 2; len <= n; len++) {
            for (int l = 1; l + len - 1 <= n; l++) {
                int r = l + len - 1;
                for (int i = l; i <= r; i++) {
                    f[l][r] += f[l][i - 1] * f[i + 1][r];
                }
            }
        }
        return f[1][n];
    }
}

C++ 代码：

C++ 复制代码

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<vector<int>> f(n + 2, vector<int>(n + 2, 0));
        for (int i = 0; i <= n + 1; i++) {
            for (int j = 0; j <= n + 1; j++) {
                if (i >= j) f[i][j] = 1;
            }
        }
        for (int len = 2; len <= n; len++) {
            for (int l = 1; l + len - 1 <= n; l++) {
                int r = l + len - 1;
                for (int i = l; i <= r; i++) {
                    f[l][r] += f[l][i - 1] * f[i + 1][r];
                }
            }
        }
        return f[1][n];
    }
};

Python 代码：

Python 复制代码

class Solution(object):
    def numTrees(self, n):
        f = [[0] * (n + 2) for _ in range(n + 2)]
        for i in range(n + 2):
            for j in range(n + 2):
                if i >= j:
                    f[i][j] = 1
        for length in range(2, n + 1):
            for l in range(1, n - length + 2):
                r = l + length - 1
                for i in range(l, r + 1):
                    f[l][r] += f[l][i - 1] * f[i + 1][r]
        return f[1][n]

TypeScript 代码：

TypeScript 复制代码

function numTrees(n: number): number {
    const f = new Array(n + 2).fill(0).map(() => new Array(n + 2).fill(0));
    for (let i = 0; i <= n + 1; i++) {
        for (let j = 0; j <= n + 1; j++) {
            if (i >= j) f[i][j] = 1;
        }
    }
    for (let len = 2; len <= n; len++) {
        for (let l = 1; l + len - 1 <= n; l++) {
            const r = l + len - 1;
            for (let i = l; i <= r; i++) {
                f[l][r] += f[l][i - 1] * f[i + 1][r];
            }
        }
    }
    return f[1][n];
};

时间复杂度： $O ( n 3 ) O(n^3)$ O(n3)
空间复杂度： $O ( n 2 ) O(n^2)$ O(n2)

区间 DP（优化）

求解完使用 $1 , n$ $1, n$ $1,n$ 共 $n n$ n 个连续数所能构成的 BST 个数后，再来思考一个问题：使用 $L , R$ $L, R$ $L,R$ 共 $n = R − L + 1 n = R - L + 1$ n=R−L+1 个连续数，所能构成的 BST 个数又是多少。

答案是一样的。

由 $n n$ n 个连续数构成的 BST 个数仅与数值个数有关系，与数值大小本身并无关系。

由于可知，我们上述的「区间 DP」必然进行了大量重复计算，例如 $f$ $1$ $3$ f $1$ $3$ f $1$ $3$ 和 $f$ $2$ $4$ f $2$ $4$ f $2$ $4$ 同为大小为 $3 3$ 3 的区间，却被计算了两次。

调整我们的状态定义：定义 $f$ $k$ f $k$ f $k$ 为考虑连续数个数为 $k k$ k 时，所能构成的 BST 的个数。

不失一般性考虑 $f$ $i$ f $i$ f $i$ 如何计算，仍用 $1 , i$ $1, i$ $1,i$ 中哪个数值作为根节点进行考虑。假设使用数值 $j j$ j 作为根节点，则有 $f$ $j - 1$ × f $i - j$ f $j - 1$ \times f $i - j$ f $j-1$ ×f $i-j$ 个 BST 可贡献到 $f$ $i$ f $i$ f $i$ ，而 $j j$ j 共有 $i i$ i 个取值（ $j ∈$ $1 , i$ j \in $1, i$ j∈ $1,i$ ）。

即有：
$f$ $i$ = ∑ j = 1 i ( f $j - 1$ × f $i - j$ ) f $i$ = \sum_{j = 1}^{i}(f $j - 1$ \times f $i - j$ ) f $i$ =j=1∑i(f $j-1$ ×f $i-j$ )

同时有初始化 $f$ $0$ = 1 f $0$ = 1 f $0$ =1，含义为没有任何连续数时，只有"空树"一种合法方案。

Java 代码：

Java 复制代码

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] f = new int[n + 10];
        f[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                f[i] += f[j - 1] * f[i - j];
            }
        }
        return f[n];
    }
}

C++ 代码：

C++ 复制代码

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> f(n + 10, 0);
        f[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                f[i] += f[j - 1] * f[i - j];
            }
        }
        return f[n];
    }
};

Python 代码：

Python 复制代码

class Solution:
    def numTrees(self, n: int) -> int:
        f = [0] * (n + 10)
        f[0] = 1
        for i in range(1, n + 1):
            for j in range(1, i + 1):
                f[i] += f[j - 1] * f[i - j]
        return f[n]

TypeScript 代码：

TypeScript 复制代码

function numTrees(n: number): number {
    const f = new Array(n + 10).fill(0);
    f[0] = 1;
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        for (let j = 1; j <= i; j++) {
            f[i] += f[j - 1] * f[i - j];
        }
    }
    return f[n];
};

时间复杂度： $O ( n 2 ) O(n^2)$ O(n2)
空间复杂度： $O ( n ) O(n)$ O(n)

数学 - 卡特兰数

在「区间 DP（优化）」中的递推过程，正是"卡特兰数"的 $O ( n 2 ) O(n^2)$ O(n2) 递推过程。通过对常规「区间 DP」的优化，我们得证 95. 不同的二叉搜索树 II 中「给定 $n n$ n 个节点所能构成的 BST 的个数为卡特兰数」这一结论。

对于精确求卡特兰数，存在时间复杂度为 $O ( n ) O(n)$ O(n) 的通项公式做法，公式为 $C n + 1 = C n ⋅ ( 4 n + 2 ) n + 2 C_{n+1} = \frac{C_n \cdot (4n + 2)}{n + 2}$ Cn+1=n+2Cn⋅(4n+2)。

Java 代码：

Java 复制代码

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        if (n <= 1) return 1;
        long ans = 1;
        for (int i = 0; i < n; i++) ans = ans * (4 * i + 2) / (i + 2);
        return (int)ans;
    }
}

C++ 代码：

C++ 复制代码

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        if (n <= 1) return 1;
        long long ans = 1;
        for (int i = 0; i < n; i++) ans = ans * (4 * i + 2) / (i + 2);
        return (int)ans;
    }
};

Python 代码：

Python 复制代码

class Solution:
    def numTrees(self, n: int) -> int:
        if n <= 1:
            return 1
        ans = 1
        for i in range(n):
            ans = ans * (4 * i + 2) // (i + 2)
        return ans

TypeScript 代码：

TypeScript 复制代码

function numTrees(n: number): number {
    if (n <= 1) return 1;
    let ans = 1;
    for (let i = 0; i < n; i++) ans = ans * (4 * i + 2) / (i + 2);
    return ans;
};

时间复杂度： $O ( n ) O(n)$ O(n)
空间复杂度： $O ( 1 ) O(1)$ O(1)

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.96 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：github.com/SharingSour... 。

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