217. 绿豆蛙的归宿 - 概率dp

泠楠子2023-09-13 22:42

给出一个有向无环的连通图，起点为 1，终点为 N，每条边都有一个长度。

数据保证从起点出发能够到达图中所有的点，图中所有的点也都能够到达终点。

绿豆蛙从起点出发，走向终点。

到达每一个顶点时，如果有 K 条离开该点的道路，绿豆蛙可以选择任意一条道路离开该点，并且走向每条路的概率为 1/K。

现在绿豆蛙想知道，从起点走到终点所经过的路径总长度的期望是多少？

输入格式

第一行: 两个整数 N，M，代表图中有 N 个点、M 条边。

第二行到第 1+M 行: 每行 3 个整数 a,b,c，代表从 a 到 b 有一条长度为 c 的有向边。

输出格式

输出从起点到终点路径总长度的期望值，结果四舍五入保留两位小数。

数据范围

1≤N≤105,

1≤M≤2N

输入样例：

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输出样例：

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7.00

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
#define IOS ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define endl '\n'

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;
typedef long long ll;

const int N = 100010, M = 200010;

int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
int dout[N], d[N];
double f[N];

void add(int a, int b, int c)
{
	e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

void dfs(int u)
{
	queue<int> q;
	q.push(u);
	
	while(q.size())
	{
		int t = q.front();
		q.pop();
		
		for(int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
		{
			int j = e[i];
			f[j] += (w[i] + f[t]) / (double)dout[j];
			d[j] ++;
			if(d[j] == dout[j])q.push(j);
		}
	}
}

int main()
{
	IOS
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	memset(h, -1, sizeof h);
	while(m --)
	{
		int a, b, c;
		cin >> a >> b >> c;
		add(b, a, c);
		dout[a] ++;
	}
	
	f[n] = 0;
	dfs(n);
	printf("%.2lf", f[1]);
	
	return 0;
}

E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y);

每个点的期望是k个（下一个点的期望+到下一个点的路径长度）相加除k，从最后一个点开始算。