"时间倾诉我的故事"

[1. 理论推导](#1. 理论推导)
[2. 主流解法](#2. 主流解法)
[3. 用EKF估计状态](#3. 用EKF估计状态)
- [3.1. 基于EKF代表解法的感悟](#3.1. 基于EKF代表解法的感悟)
[4. 用BA法估计状态](#4. 用BA法估计状态)
- [4.1 构建最小二乘问题](#4.1 构建最小二乘问题)
- [4.2 求解BA推导](#4.2 求解BA推导)
- [4.3 H的稀疏结构](#4.3 H的稀疏结构)
- [4.4 根据H稀疏性求解](#4.4 根据H稀疏性求解)
- [4.5 鲁棒核函数](#4.5 鲁棒核函数)
- [4.6 编程注意](#4.6 编程注意)
5.总结

引入：

前端里程计能给出一个短时间内的轨迹和地图，时间长则不准确；
为了得到长时间内最优轨迹和地图，构建一个规模更大的优化问题。在后端优化中，通常考虑更长时间内的状态估计问题。

1. 理论推导

还是摆出最经典的SLAM运动和观测方程
f ( x ) = { x k = f ( x k − 1 , u k ) + w k z k , j = h ( y j , x k ) + v k , j f(x)= \begin{cases} x_k = f(x_{k-1}, u_k) + w_k \\ z_{k,j} = h(y_j, x_k) + v_{k,j} \end{cases} f(x)={xk=f(xk−1,uk)+wkzk,j=h(yj,xk)+vk,j

实际上要解决：拥有某些运动数据 u u u 和观测数据 z z z 时，如何确定状态量 x x x 和 y y y 的分布。

解决如下：
令 x k x_k xk 为 k k k 时刻所有的未知量， x k ≜ { x k , y 1 , . . . , y m } x_k \triangleq \{x_k, y_1,...,y_m \} xk≜{xk,y1,...,ym}
同时，令 k 时刻所有的观测值为 z k z_k zk。
代入上式，运动和观测方程以后如下：
f ( x ) = { x k = f ( x k − 1 , u k ) + w k z k , j = h ( y j , x k ) + v k , j f(x)= \begin{cases} x_k = f(x_{k-1}, u_k) + w_k \\ z_{k,j} = h(y_j, x_k) + v_{k,j} \end{cases} f(x)={xk=f(xk−1,uk)+wkzk,j=h(yj,xk)+vk,j

在 k k k 时刻，用 0 − k 0-k 0−k 的数据估计现在的状态分布：

P ( x k ∣ x 0 , u 1 : k , z 1 : k ) ⇓ B a y e s 法则交换 z 和 x P ( z k ∣ x k ) P ( x k ∣ x 0 , u 1 : k , z 1 : k − 1 ) ⇓ 按 x k − 1 时刻为条件概率展开 ∫ P ( x k ∣ x k − 1 , x 0 , u 1 : k , z 1 : k − 1 ) P ( x k − 1 ∣ x 0 , u 1 : k , z 1 : k − 1 ) d x k − 1 P(x_k|x_0, u_{1:k}, z_{1:k}) \\\;\\\Downarrow Bayes法则交换z和x \\\;\\ P(z_k|x_k)P(x_k|x_0, u_{1:k},z_{1:k-1}) \\\;\\\Downarrow 按x_{k-1}时刻为条件概率展开 \\\;\\ \int P(x_k|x_{k-1}, x_0, u_{1:k}, z_{1:k-1})P(x_{k-1}|x_0, u_{1:k}, z_{1:k-1})\, \text d x_{k-1} P(xk∣x0,u1:k,z1:k)⇓Bayes法则交换z和xP(zk∣xk)P(xk∣x0,u1:k,z1:k−1)⇓按xk−1时刻为条件概率展开∫P(xk∣xk−1,x0,u1:k,z1:k−1)P(xk−1∣x0,u1:k,z1:k−1)dxk−1

2. 主流解法

上式 ∫ P ( x k ∣ x k − 1 , x 0 , u 1 : k , z 1 : k − 1 ) P ( x k − 1 ∣ x 0 , u 1 : k , z 1 : k − 1 ) d x k − 1 \int P(x_k|x_{k-1}, x_0, u_{1:k}, z_{1:k-1})P(x_{k-1}|x_0, u_{1:k}, z_{1:k-1})\, \text d x_{k-1} ∫P(xk∣xk−1,x0,u1:k,z1:k−1)P(xk−1∣x0,u1:k,z1:k−1)dxk−1

主流的有两种做法：

1. 假设马尔科夫性，当前状态仅和上个时态有关，用EKF等滤波器方法做状态估计；前两讲讲到过
1. 当前状态和之前所有状态都有关系，基于BA用非线性优化等优化框架做。

3. 用EKF估计状态

在马尔科夫性 成立后，当前状态仅和上个时态有关，上边左右式可分别简化为(右式中， u k u_k uk 和 k − 1 k-1 k−1 时刻的状态无关，拿掉！)：
左边： P ( x k ∣ x k − 1 , x 0 , u 1 : k , z 1 : k − 1 ) = P ( x k ∣ x k − 1 , u k ) 右边： P ( x k − 1 ∣ x 0 , u 1 : k , z 1 : k − 1 ) = P ( x k − 1 ∣ x 0 , u 1 : k , z 1 : k − 1 ) 左边：\qquad P(x_k|x_{k-1}, x_0, u_{1:k}, z_{1:k-1}) = P(x_k|x_{k-1}, u_k)\\\; \qquad右边：\qquad P(x_{k-1}|x_0, u_{1:k}, z_{1:k-1}) = P(x_{k-1}|x_0, u_{1:k}, z_{1:k-1}) 左边：P(xk∣xk−1,x0,u1:k,z1:k−1)=P(xk∣xk−1,uk)右边：P(xk−1∣x0,u1:k,z1:k−1)=P(xk−1∣x0,u1:k,z1:k−1)

由前边的两节知识，可知上式中我们只需维护一个状态量即可，不断迭代更新即可。假设它满足高斯分布，只需要考虑维护状态量的均值和协方差即可。
另记： x ^ \hat x x^ 表示先验， x ˉ \bar x xˉ 表示后验

根据高斯分布性质可得EKF中的预测环节：
P ( x k ∣ x 0 , u 1 : k , z 1 : k − 1 ) = N ( A k x ˉ k − 1 + u k , A k P ^ k − 1 A k T + R ) = 记为 N ( x ˉ k , P ˉ k ) P(x_k|x_0,u_{1:k}, z_{1:k-1}) = N(A_k\bar x_{k-1}+u_k, \;\;\;A_k\hat P_{k-1}A_k^T+R) = 记为\quad N(\bar x_k, \bar P_k) P(xk∣x0,u1:k,z1:k−1)=N(Akxˉk−1+uk,AkP^k−1AkT+R)=记为N(xˉk,Pˉk)

如此，就可以带入我们的EKF中进行使用。

3.1. 基于EKF代表解法的感悟

运算快，资源低；

局限：

1. 马尔科夫性质---无法解决类似回环等当前状态与很久之前数据有关的问题
1. 对 x k x_k xk 在当前时刻的一次线性化，计算出后验概率，是假设该点的线性化在后验概率处还是有效的，实际上不然。只有小范围成立，在远处的地方并不能近似，这是EKF的 非线性误差 。
2.1 而在非线性优化方法中，在每迭代一次，状态发生改变后就会做一阶或者二阶近似，重新做泰勒展开，适用范围更加广泛，状态变化大时候也适用。
1. EKF SLAM不可适用于大场景，landmark多的时候，均值和方差是很大的。

4. 用BA法估计状态

BA(Bundle Adjustment)：源于三维重建，在这里的意义是 通过不断调整相机的姿态和特征点的位置，使从每一个特征点反射出来的几束光线都收束到相机中心，类似求解只有观测方程的SLAM问题。

4.1 构建最小二乘问题

针对此问题，观测方程：

z = h ( ξ , p ) z = h(\xi, p) z=h(ξ,p)

ξ \xi ξ 是位姿(李代数表示) ， p p p 是路标(特征点的位置), 观测误差如下：
e = z − h ( ξ , p ) e = z - h(\xi, p) e=z−h(ξ,p)

代价函数(Cost Function)如下：

1 2 ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n ∣ ∣ e i j ∣ ∣ 2 = 1 2 ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n ∣ ∣ z i j − h ( ξ i , p j ) ∣ ∣ 2 \frac{1}{2}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n||e_{ij}||^2 = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n||z_{ij}-h(\xi_{i},p_j)||^2 21i=1∑mj=1∑n∣∣eij∣∣2=21i=1∑mj=1∑n∣∣zij−h(ξi,pj)∣∣2

其中 z ( i , j ) z(i,j) z(i,j) 表示在位姿 ξ i \xi_i ξi 处观察路标 p j p_j pj 产生的数据。当该式最小时，我们的估计位姿 ξ i \xi_i ξi 和路标 p j p_j pj 最接近真实值。

为了便于理解这里的 h h h ，举在相机中的例子：

这里 h h h 表示将世界坐标下的点 p [ x , y , z ] p[x,y,z] p[x,y,z] 转到像素坐标(也就是程序可读图片的点位置的坐标)下的点 u , v u,v u,v ：如下

这就是一个观测方程 h h h 的一种具体参数化的过程。

4.2 求解BA推导

再看要求解的非线性最小二乘问题( h h h 非线性显然 )：

1 2 ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n ∣ ∣ z i j − h ( ξ i , p j ) ∣ ∣ 2 \frac{1}{2}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n||z_{ij}-h(\xi_{i},p_j)||^2 21i=1∑mj=1∑n∣∣zij−h(ξi,pj)∣∣2

首先定义要优化的变量：

x = [ ξ 1 , . . . , ξ m , p 1 , . . . , p n ] T x = [\xi_1, ..., \xi_m,p_1, ..., p_n]^T x=[ξ1,...,ξm,p1,...,pn]T

注意：虽然一个误差项针对的是单个位姿和路标点，但是在整体BA中，必须将优化变量定义为所有待优化的变量。

根据前文：求解非线性问题，要给一个小增量和增量方向,最终要求的也是这个 Δ x \Delta x Δx，这里给增量以后的代价函数为：

1 2 ∣ ∣ f ( x + Δ x ) ∣ ∣ 2 ≈ 1 2 ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n ∣ ∣ e i j + F i j Δ ξ i + E i j Δ p j ∣ ∣ 2 \frac{1}{2}||f(x+\Delta x)||^2 \approx \frac{1}{2}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n||e_{ij}+F_{ij}\Delta \xi_i + E_{ij}\Delta p_j||^2 21∣∣f(x+Δx)∣∣2≈21i=1∑mj=1∑n∣∣eij+FijΔξi+EijΔpj∣∣2

其中 F i j F_{ij} Fij 表示代价函数对相机姿态的偏导数， E i j E_{ij} Eij 表示对路标点位置的偏导数。

将相机位姿，和空间点变量分别放在一起：上式如下：

x c = [ ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ m ] T ∈ R 6 m ， x p = [ p 1 , p 2 , . . . , p m ] T ∈ R 3 n ⇓ 1 2 ∣ ∣ f ( x + Δ x ) ∣ ∣ 2 = 1 2 ∣ ∣ e + F Δ x c + E Δ x p ∣ ∣ 2 x_c = [\xi_1, \xi_2, ..., \xi_m]^T \in \R^{6m}， \qquad x_p = [p_1, p_2, ..., p_m]^T \in \R^{3n} \\\;\Downarrow\\\;\\ \frac{1}{2}||f(x+\Delta x)||^2 = \frac{1}{2} ||e + F\Delta x_c + E \Delta x_p||^2 xc=[ξ1,ξ2,...,ξm]T∈R6m，xp=[p1,p2,...,pm]T∈R3n⇓21∣∣f(x+Δx)∣∣2=21∣∣e+FΔxc+EΔxp∣∣2

根据前边的非线性优化，最终我们要面临

H Δ x = g H \Delta x = g HΔx=g

而求解它要用的雅克比矩阵可以根据位姿和路标分别定义为：

J = [ F E ] J = [F \quad E] J=[FE]

则：
H = J T J = [ F T F F T E E T F E T E ] H = J^TJ= \begin{bmatrix} F^TF & F^TE \\ E^TF & E^TE \end{bmatrix} H=JTJ=[FTFETFFTEETE]

点越多，就代表这个H的维度越大，计算复杂，资源占得多，接下来分析如何观察这个 H H H 的特点。

4.3 H的稀疏结构

根据前边，我们知道 H = J T J H = J^TJ H=JTJ, H H H的研究放在 J J J 上，对于J，考虑一个 e i j e_{ij} eij 它的表述如下：

几何意义就是：它只涉及第 i 个矩阵和第 j 个路标，其余都为0，描述的是 ξ i \xi_i ξi看到 p j p_j pj 这件事，且前边的是位姿导数（6维），后边的是路标（三维）。

举例说明

假设有2个相机，6个路标。可视化它们的关系如下(可以观测到，则底下用实线连接):

根据上边，把 C 1 C_1 C1 观察到 P 1 P_1 P1 的雅克比直观出来，则如下，因为 C 1 C_1 C1 六维：

这个时候，将所有 J i j J_{ij} Jij 和它们相乘之后的 H H H 同样直观展示：

我们发现：H对应邻接矩阵，可以知道假如 C i C_i Ci 可以观察到 P j P_j Pj ，那么 H i j H_{ij} Hij 则是有值的，否则是为0.如下：

4.4 根据H稀疏性求解

根据以上H性质，可以将H分块为：其中 B B B 纯位姿， C C C对角线纯路标，B非对角非零表示共视关系：
H = [ B E E T C ] H = \begin{bmatrix} B & E \\ E^T & C \end{bmatrix} H=[BETEC]

这个时候就可以求解 H Δ x = g H \Delta x = g HΔx=g 这个方程：

[ B E E T C ] [ Δ x c Δ x p ] = [ v w ] \begin{bmatrix} B & E \\ E^T & C \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\Delta x_c \\ \Delta x_p\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v \\w \end{bmatrix} [BETEC][ΔxcΔxp]=[vw]

此时通过Schur消元(也叫边缘化)---就是先求一个比如 Δ x c \Delta x_c Δxc 然后再反代回去求 Δ x p \Delta x_p Δxp 的方法去求解。

4.5 鲁棒核函数

说明问题：我们采用的是误差项的二范数平方和，如果出现误匹配，单个项的误差就很大，此时优化算法会均摊误差去调整其他正确的数据。
问题原因：误差很大时，二范数增长过快(平方嘛)
解决：鲁棒核函数--把二范数度量换成增长较低，同时保证光滑(求导要求)的表述，因为它使得整个优化结果更为鲁棒，所以又叫它鲁棒核函数(Robust Kernel)。

列举一个常见的鲁棒核函数，Huber核：

f ( x ) = { 1 2 e 2 i f ∣ e ∣ ≤ δ , δ ( ∣ e ∣ − 1 2 δ ) o t h e r w i s e . f(x)= \begin{cases} \frac{1}{2}e^2 \qquad\qquad\qquad if|e| \le \delta, \\ \delta(|e| - \frac{1}{2} \delta)\qquad\quad otherwise . \end{cases} f(x)={21e2if∣e∣≤δ,δ(∣e∣−21δ)otherwise.

它的图像如下：

此外还有Cauchy核，Tukey核等。

4.6 编程注意

在使用G2O求解时，所有点云都要进行Schur，因为定义的Matrix维度仅仅是相机姿态参数的维度，要确保它不包含其他路标维度，不然报错。

5.总结

假设马尔科夫，EKF代表的滤波器模型
考虑所有状态，构成最小二乘问题，只有观测时又称BA。

【视觉SLAM入门】7.3.后端优化 基于KF/EKF和基于BA图优化的后端，推导及举例分析