数据结构——排序算法——希尔排序

希尔排序本质上是对插入排序的一种优化，它利用了插入排序的简单，又克服了插入排序每次只交换相邻两个元素的缺点。它的基本思想是：

1.将待排序数组按照一定的间隔分为多个子数组，每组分别进行插入排序。这里按照间隔分组指的不是取连续的一段数组，而是每跳跃一定间隔取一个值组成一组

2.逐渐缩小间隔进行下一轮排序

3.最后一轮时，取间隔为 1，也就相当于直接使用插入排序。但这时经过前面的「宏观调控」，数组已经基本有序了，所以此时的插入排序只需进行少量交换便可完成。

举个例子，对数组 $84,83,88,87,61,50,70,60,80,99$ 进行希尔排序的过程如下：

1.第一遍（5 间隔排序）：按照间隔 5 分割子数组，共分成五组，分别是 $84,50$ , $83,70$ , $88,60$ , $87,80$ , $61,99$ 。对它们进行插入排序，排序后它们分别变成： $50,84$ , $70,83$ , $60,88$ , $80,87$ , $61,99$ ，此时整个数组变成 $50,70,60,80,61,84,83,88,87,99$

2.第二遍（2 间隔排序）：按照间隔2 分割子数组，共分成两组，分别是 $50,60,61,83,87$ , $70,80,84,88,99$ 。对他们进行插入排序，排序后它们分别变成： $50,60,61,83,87$ , $70,80,84,88,99$ ，此时整个数组变成 $50,70,60,80,61,84,83,88,87,99$ 。这里有一个非常重要的性质：当我们完成 2 间隔排序后，这个数组仍然是保持 5 间隔有序的。也就是说，更小间隔的排序没有把上一步的结果变坏

3.第三遍（1 间隔排序，等于直接插入排序）：按照间隔 1 分割子数组，分成一组，也就是整个数组。对其进行插入排序，经过前两遍排序，数组已经基本有序了，所以这一步只需经过少量交换即可完成排序。排序后数组变成 $50,60,61,70,80,83,84,87,88,99$ ，整个排序完成。

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 void shellSort(vector<int> arr) {
    // 间隔序列，在希尔排序中我们称之为增量序列
    for (int gap = arr.size() / 2; gap > 0; gap /= 2) {
        // 分组
        for (int groupStartIndex = 0; groupStartIndex < gap; groupStartIndex++) {
            // 插入排序
            for (int currentIndex = groupStartIndex + gap; currentIndex < arr.size(); currentIndex += gap) {
                // currentNumber 站起来，开始找位置
                int currentNumber = arr[currentIndex];
                int preIndex = currentIndex - gap;
                while (preIndex >= groupStartIndex && currentNumber < arr[preIndex]) {
                    // 向后挪位置
                    arr[preIndex + gap] = arr[preIndex];
                    preIndex -= gap;
                }
                // currentNumber 找到了自己的位置，坐下
                arr[preIndex + gap] = currentNumber;
            }
        }
    }
}

优化

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 void shellSort(vector<int> arr) {
    // 间隔序列，在希尔排序中我们称之为增量序列
    for (int gap = arr.size() / 2; gap > 0; gap /= 2) {
        // 从 gap 开始，按照顺序将每个元素依次向前插入自己所在的组
        for (int i = gap; i < arr.size(); i++) {
            // currentNumber 站起来，开始找位置
            int currentNumber = arr[i];
            // 该组前一个数字的索引
            int preIndex = i - gap;
            while (preIndex >= 0 && currentNumber < arr[preIndex]) {
                // 向后挪位置
                arr[preIndex + gap] = arr[preIndex];
                preIndex -= gap;
            }
            // currentNumber 找到了自己的位置，坐下
            arr[preIndex + gap] = currentNumber;
        }
    }
}

使用 Knuth 序列进行希尔排序的代码

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void shellSortByKnuth(vector<int> arr) {
    // 找到当前数组需要用到的 Knuth 序列中的最大值
    int maxKnuthNumber = 1;
    while (maxKnuthNumber <= arr.size() / 3) 
    {
        maxKnuthNumber = maxKnuthNumber * 3 + 1;
    }
    // 增量按照 Knuth 序列规则依次递减
    for (int gap = maxKnuthNumber; gap > 0; gap = (gap - 1) / 3) {
        // 从 gap 开始，按照顺序将每个元素依次向前插入自己所在的组
        for (int i = gap; i < arr.size(); i++) {
            // currentNumber 站起来，开始找位置
            int currentNumber = arr[i];
            // 该组前一个数字的索引
            int preIndex = i - gap;
            while (preIndex >= 0 && currentNumber < arr[preIndex]) {
                // 向后挪位置
                arr[preIndex + gap] = arr[preIndex];
                preIndex -= gap;
            }
            // currentNumber 找到了自己的位置，坐下
            arr[preIndex + gap] = currentNumber;
        }
    }
}