树型结构和二叉树的概念及特性

目录

[1. 树型结构](#1. 树型结构)

[1.1 树的概念](#1.1 树的概念)

1.2重要专有名词概念

[1.3 树的表示形式](#1.3 树的表示形式)

[1.4 树的应用](#1.4 树的应用)

​编辑

[2. 二叉树](#2. 二叉树)

[2.1 概念](#2.1 概念)

[2.2 两种特殊的二叉树](#2.2 两种特殊的二叉树)

[2.3 二叉树的性质](#2.3 二叉树的性质)

3.有关二叉树性质的练习题


**1.**树型结构

1.1 树的概念

树是一种 非线性 的数据结构,它是由 n ( n>=0 )个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 把它叫做树是因为它看 起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。

它具有以下的特点:

(1) 有一个特殊的结点,称为根结点,根结点没有前驱结点。
(2) 除根结点外,其余结点被分成 M(M > 0) 个互不相交的集合 T1 、 T2 、 ...... 、 Tm ,其中每一个集合 Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以有 0 个或多个后继。
(3)树是递归定义的。
(4)树形结构中,子树之间不能有交集,否则就不是树形结构 。

重要的总结与整理

1.2重要专有名词概念

重要****概念

(1)结点的度 :一个结点含有子树的个数称为该结点的度; 如上图: A 的度为 6
(2)树的度 :一棵树中,所有结点度的最大值称为树的度; 如上图:树的度为 6
(3)叶子结点或终端结点 :度为 0 的结点称为叶结点; 如上图: B 、 C 、 H 、 I... 等节点为叶结点

(4)双亲结点或父结点:若一个结点含有子结点,则这个结点称为其子结点的父结点; 如上 图:A是B的父结点

(5)孩子结点或子结点:一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点; 如上图:B是A的 孩子结点

(6)根结点:一棵树中,没有双亲结点的结点;如上图:A

(7)结点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子结点为第2层,以此类推树的高度或深度:树中结点的最大层次;如上图:树的高度为4

以下概念只需了解

(1)非终端结点或分支结点:度不为0的结点; 如上图:D、E、F、G...等节点为分支结点

(2)兄弟结点:具有相同父结点的结点互称为兄弟结点; 如上图:B、C是兄弟结点

(3)兄弟结点:具有相同父结点的结点互称为兄弟结点; 如上图:B、C是兄弟结点
(4)堂兄弟结点 :双亲在同一层的结点互为堂兄弟;如上图: H 、 I 互为兄弟结点
(5)结点的祖先 :从根到该结点所经分支上的所有结点;如上图: A 是所有结点的祖先
(6)子孙 :以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图:所有结点都是 A 的子孙
(7)森林 :由 m ( m>=0 )棵互不相交的树组成的集合称为森林

1.3****树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了,要存储表示起来就比较麻烦了,实际中树有很多种表示方式,如: 双亲表示法孩子表示法孩子双亲表示法孩子兄弟表示法 等等。我们这里就简单的了解其中最常用的 孩子兄弟表示法

java 复制代码
class Node {
int value; // 树中存储的数据
Node firstChild; // 第一个孩子引用
Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

1.4****树的应用

文件系统管理(目录和文件)


**2.**二叉树

2.1****概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合,该集合:

  1. 或者为空
  1. 或者是由 一个根节 点加上两棵别称为 左子树右子树 的二叉树组成。


    从上图可以看出:
  1. 二叉树不存在度大于 2 的结点
  2. 二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树

2.2****两种特殊的二叉树

  1. 满二叉树 : 一棵二叉树,如果 每层的结点数都达到最大值,则这棵二叉树就是满二叉树 。也就是说,如果一棵二叉树的层数为 K,且结点总数是(2^K)-1 ,则它就是满二叉树
  2. 完全二叉树 : 完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K 的,有 n 个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K 的满二叉树中编号从 0 至 n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3****二叉树的性质

  1. 若规定 根结点的层数为 1 ,则一棵 非空二叉树的第 i 层上有(2^i-1) (i>0) 个结点
    性质1: 用来求每层有多少个节点
  2. 若规定只有 根结点的二叉树的深度为 1 ,则 深度为 K的二叉树的最大结点数是(2^K)-1
    (k>=0)
  3. 对任何一棵二叉树 , 如果其 叶结点个数为 n0, 度为 2 的非叶结点个数为 n2, 则有 n0 n2 1

4.具有n个结点的完全二叉树的深度k为:


注意:向上取整
5. 对于具有 n 个结点的完全二叉树 ,如果按照 从上至下从左至右的顺序对所有节点从 0 开始编号 ,则对于 序号为 i 的结点有

若 i>0 , 双亲序号: (i-1)/2i=0 i 为根结点编号 ,无双亲结点
2i+1<n ,左孩子序号: 2i+1 ,否则无左孩子
2i+2<n ,右孩子序号: 2i+2 ,否则无右孩子


3.有关二叉树性质的练习题

  1. 某二叉树共有 399 个结点,其中有 199 个度为 2 的结点,则该二叉树中的叶子结点数为( )
    A 不存在这样的二叉树
    B 200
    C 198
    D 199
    答案:B
    解析:

性质3: 对任何一棵二叉树 , 如果其 叶结点个数为 n0, 度为 2 的非叶结点个数为 n2, 则有
n0 n2 1
n0=199+1为200;


  1. 在具有 2n 个结点的完全二叉树中,叶子结点个数为( )
    A n
    B n+1
    C n-1
    D n/2

答案:A

解析:

2n = n0+ n0 -1 +1;

解得:n0 = n;


  1. 一个具有 767 个节点的完全二叉树,其叶子节点个数为()
    A 383
    B 384
    C 385
    D 386
    答案:B
    解析:
    结点数为奇数,故无n1
    767 = n0 + n0 -1;
    解得:n0 = 384;

  1. 一棵完全二叉树的节点数为 531 个,那么这棵树的高度为( )
    A 11
    B 10
    C 8
    D 12
    答案:B

解析:
性质4:具有n个结点的完全二叉树的深度k为:


注意:向上取整


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