5 Algorithm Evaluation and Error Analysis
本章主要讲述对算法的验证和误差分析。
概述了两种计算这种不确定性（协方差）的方法。第一个基于线性近似值，涉及串联各种雅各布表达式，第二个是更容易实施蒙特卡洛方法。
文章目录
- [5 Algorithm Evaluation and Error Analysis](#5 Algorithm Evaluation and Error Analysis)
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- [5.1 Bounds on performance](#5.1 Bounds on performance)
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- [5.1.1 Error in one image](#5.1.1 Error in one image)
- [5.1.2 Error in both images](#5.1.2 Error in both images)
- 最大后验概率误差的期望（几何误差）
- [5.2 Covariance of the estimated transformation H H H的协方差](#5.2 Covariance of the estimated transformation H H H的协方差)
- [5.3 Monte Carlo estimation of covariance](#5.3 Monte Carlo estimation of covariance)
5.1 Bounds on performance
一旦开发出一种算法来估计某种类型的转换，就该测试其性能了。 这可以通过对真实或合成数据进行测试来完成。 在本节中，将对合成数据进行测试。
我们先重申一些在前面章节使用到的符号约定：
- x x x之类的表示测量的图像点。
- 估计值由hat表示，例如 x ^ \hat{x} x^或 H ^ \hat{H} H^。
- 真实值由bar表示，例如 x ˉ \bar{x} xˉ或 H ˉ \bar{H} Hˉ。
5.1.1 Error in one image
首先再来明确一下 x ^ ′ \hat{x}' x^′的定义， x ↔ x ′ x \leftrightarrow x' x↔x′是一对有噪声的 对应点，所以从 x ↔ x ′ x \leftrightarrow x' x↔x′估计出的 H H H其实不满足 x ′ = H x x'=Hx x′=Hx，总是含有误差的。那么我们可以记 x ^ ′ = H x \hat{x}'=Hx x^′=Hx，那么 x ^ \hat{x} x^就和 x x x是完美匹配的，对 x ′ x' x′也可以找出这么一对完美匹配的点。那么在一张图上的误差就是：
ϵ r e s = ( 1 2 n ∑ i = 1 n d ( x i ′ , x i ^ ′ ) 2 ) 1 2 \epsilon_{res} = (\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n} d(x'_i,\hat{x_i}')^{2})^{\frac{1}{2}} ϵres=(2n1i=1∑nd(xi′,xi^′)2)21
5.1.2 Error in both images
两张图的误差就是：
ϵ r e s = 1 4 n ( ∑ i = 1 n d ( x i , x i ^ ) 2 + ∑ i = 1 n d ( x i ′ , x i ^ ′ ) 2 ) 1 2 \epsilon_{res} = \frac{1}{\sqrt{4n}}(\sum_{i=1}^{n} d(x_{i},\hat{x_{i}})^{2} + \sum_{i=1}^{n} d(x'{i},\hat{x{i}}')^{2})^{\frac{1}{2}} ϵres=4n 1(i=1∑nd(xi,xi^)2+i=1∑nd(xi′,xi^′)2)21
最大后验概率误差的期望（几何误差）
最小化几何误差等于求最大后验概率，既然从概率角度考虑，那么我们就求误差的期望。
书中给出的结论是：在N维空间中有协方差为 N σ N\sigma Nσ的高斯噪声，我们要求d个自由度的投影变换，那么有如下公式：
- x x x到 x ^ \hat{x} x^的误差是 σ ( 1 − d / N ) 1 / 2 \sigma(1-d/N)^{1/2} σ(1−d/N)1/2
- x x x到 x ˉ \bar{x} xˉ的误差是 σ ( 1 − d / N ) 1 / 2 \sigma(1-d/N)^{1/2} σ(1−d/N)1/2， x ˉ \bar{x} xˉ是真实值ground truth，是没有噪声的点
5.2 Covariance of the estimated transformation H H H的协方差
H H H的协方差主要是来计算方差的，方差衡量 H H H本身有多准确， H H H有9个变量，那么它的协方差矩阵就是 9 × 9 9 \times 9 9×9
那么一张图上的这个协方差矩阵怎么算，书中给出了如下公式：
Σ h = ( J f T Σ x J f ) \Sigma_h=(J_f^T \Sigma_x J_f) Σh=(JfTΣxJf)
其中， Σ x \Sigma_x Σx是噪声，也就是高斯分布的协方差矩阵， J f J_f Jf是雅可比矩阵，可以根据对应点用p146 5.11式算出。
两张图上的协方差可以用p147 5.2.5节的公式计算。
5.3 Monte Carlo estimation of covariance
先找若干对匹配点，算出一个 H H H，然后再人为加上噪声，再计算一个 H ′ H' H′，这样就可以计算协方差矩阵，进而计算方差。