【线性代数】

0、线性代数的本质往往被淹没在计算的海洋中,无人问津!

1、什么是向量?

向量是带方向的箭头,向量是坐标。

2、向量的线性组合

两个向量不共线,即线性无关;两个向量共线,即线性相关。

两个不共线的向量张成的空间是二维的,三个不相关的向量张成的空间是三维的,n个不相关的向量是张成的空间是n维的。

n个向量张成的空间如果小于n维,那么这n个向量组成的向量组是线性相关的。

3、矩阵与线性相关

将一个向量进行线性变换,要表述这一变换,需要表示基向量变换后的向量,将坐标写成一个数表,即矩阵,矩阵表示一个线性变换。

矩阵左乘向量表示矩阵将这个向量进行线性变换。

矩阵代表对空间的线性变换,两个矩阵相乘代表对空间进行连续两次的线性变换,优先进行右侧矩阵的线性变换。

4、行列式

一个矩阵的行列式为a,那么代表这个变换将原空间的大小变为了a倍;这里的大小,一维指线的长度,二维指面积,三维指体积,四维指代表空间大小的量。

当行列式值为0时,表示变换后原维度的空间大小变为了0,即空间被降维了。

当行列式值为负数时,其实只是方向不一样而已,若理解上述,这里不足为奇。

5、线性变换与方程组

以3*3的矩阵A代表方程组的系数矩阵,X代表未知数矩阵,V代表等号右侧矩阵。

A*X=V

意义为将X向量进行变换A,变成向量V,所以只需找到A的逆变换,将此逆变换作用在V上,即可得到X。

A为满秩时,可以得到唯一的解X,

当A的秩为2时,那么X将被压在一个平面内,当V也不在这个平面内时,方程组无解;当V在这个平面上时,则能将投影投在这个平面上且与V重合的所有向量都是方程组的解。

6、矩阵的列空间

列向量张成空间的维数。

7、矩阵的零空间

经过矩阵变换后被压缩到原点的向量组成的空间。满秩矩阵只有零向量在变换后是零向量;对于非满秩矩阵,一系列向量在变换后被压缩到原点。

8、克莱姆法则

9、非方阵

变换维度的变换。

10、点积

向量的点乘,可以理解为把一个向量看成1*2的矩阵(二维时),这个矩阵变换另一个向量。

'向量' 是动词 '变换' 的一个名词性表述。

相关推荐
阿坡RPA7 小时前
手搓MCP客户端&服务端:从零到实战极速了解MCP是什么?
人工智能·aigc
用户27784491049937 小时前
借助DeepSeek智能生成测试用例:从提示词到Excel表格的全流程实践
人工智能·python
机器之心8 小时前
刚刚,DeepSeek公布推理时Scaling新论文,R2要来了?
人工智能
算AI10 小时前
人工智能+牙科:临床应用中的几个问题
人工智能·算法
凯子坚持 c10 小时前
基于飞桨框架3.0本地DeepSeek-R1蒸馏版部署实战
人工智能·paddlepaddle
老歌老听老掉牙11 小时前
平面旋转与交线投影夹角计算
python·线性代数·平面·sympy
你觉得20511 小时前
哈尔滨工业大学DeepSeek公开课:探索大模型原理、技术与应用从GPT到DeepSeek|附视频与讲义下载方法
大数据·人工智能·python·gpt·学习·机器学习·aigc
8K超高清11 小时前
中国8K摄像机:科技赋能文化传承新图景
大数据·人工智能·科技·物联网·智能硬件
hyshhhh11 小时前
【算法岗面试题】深度学习中如何防止过拟合?
网络·人工智能·深度学习·神经网络·算法·计算机视觉
薛定谔的猫-菜鸟程序员11 小时前
零基础玩转深度神经网络大模型:从Hello World到AI炼金术-详解版(含:Conda 全面使用指南)
人工智能·神经网络·dnn