《动手学深度学习 Pytorch版》 6.1 从全连接层到卷积

6.1.1 不变性

平移不变性（translation invariance）：

不管检测对象出现在图像中的哪个位置，神经网络的前面几层应该对相同的图像区域具有相似的反应，即为"平移不变性"。
局部性（locality）：

神经网络的前面几层应该只探索输入图像中的局部区域，而不过度在意图像中相隔较远区域的关系，这就是"局部性"原则。最终，可以聚合这些局部特征，以在整个图像级别进行预测。

6.1.2 多层感知机的限制

假设多层感知机的输入是 X X X，将其隐藏表示记为 H H H（二者形状相同）。

使用 $X$ i j $\\boldsymbol{X}$ {ij} $X$ ij 和 $H$ i j $\\boldsymbol{H}$ {ij} $H$ ij 表示位置 ( i , j ) (i,j) (i,j) 位置上的像素点。

因为每个像素点都需要和其他像素点联系，故每个像素点都需要一个二阶的权重张量，又由于是二维图像，故最终权重张量 W \mathrm{W} W 为四维。

再假设偏置参数为 U U U，则可以将全连接层表示为：

$H$ i j = $U$ i j + ∑ k ∑ l $W$ i , j , k , l $X$ k , l $\\boldsymbol{H}$ {ij} = $\\boldsymbol{U}$ {ij}+\sum_k\sum_l $\\mathrm{W}$ {i,j,k,l} $\\boldsymbol{X}$ {k,l} $H$ ij= $U$ ij+k∑l∑ $W$ i,j,k,l $X$ k,l

为了方便表示，我们对下标 ( k , l ) (k,l) (k,l) 进行重新索引，使得 k = i + a , l = j + b k=i+a,l=j+b k=i+a,l=j+b，则可以得到重拍后的权重矩阵 $V$ i , j , a , b = $W$ i , j , i + a , j + b $V$ {i,j,a,b}= $\\mathrm{W}$ {i,j,i+a,j+b} $V$ i,j,a,b= $W$ i,j,i+a,j+b。

上式可表述为：

$H$ i j = $U$ i j + ∑ a ∑ b $V$ i , j , a , b $X$ i + a , j + b $\\boldsymbol{H}$ {ij} = $\\boldsymbol{U}$ {ij}+\sum_a\sum_b $\\mathrm{V}$ {i,j,a,b} $\\boldsymbol{X}$ {i+a,j+b} $H$ ij= $U$ ij+a∑b∑ $V$ i,j,a,b $X$ i+a,j+b

平移不变性

现在引入平移不变性，即检测对象在输入 X X X 中的平移应该仅导致隐藏表示 H H H 中的平移。简言之，无须每个像素都要独享一个二维权值张量，所有像素共享同一个即可，故权重张量降为二维即可。此时式子可以简化为：

$H$ i j = u + ∑ a ∑ b $V$ a , b $X$ i + a , j + b $\\boldsymbol{H}$ {ij} = u+\sum_a\sum_b $\\boldsymbol{V}$ {a,b} $\\boldsymbol{X}$ _{i+a,j+b} $H$ ij=u+a∑b∑ $V$ a,b $X$ i+a,j+b

这就是所谓卷积，使用系数 $V$ a , b $\\boldsymbol{V}$ {a,b} $V$ a,b 对 ( i , j ) (i,j) (i,j) 附近的像素 ( i + a , j + b ) (i+a,j+b) (i+a,j+b) 进行加权得到 $H$ i j $\\boldsymbol{H}$ {ij} $H$ ij。
局部性

对于上述的 a , b a,b a,b 不应该取太大，即范围不应太大，至少不应该是全图。故可将 ∣ a ∣ > Δ ∣ b ∣ > Δ \left|a\right|>\Delta \left|b\right|>\Delta ∣a∣>Δ∣b∣>Δ的范围设置为0（即不考虑范围外的影响）。故可将式子重写为：

$H$ i j = u + ∑ a Δ ∑ b Δ $V$ a , b $X$ i + a , j + b $\\boldsymbol{H}$ {ij} = u+\sum_a^\Delta\sum_b^\Delta $\\boldsymbol{V}$ {a,b} $\\boldsymbol{X}$ _{i+a,j+b} $H$ ij=u+a∑Δb∑Δ $V$ a,b $X$ i+a,j+b

至此，可以称 V V V 为卷积核。简言之，卷积操作实际就是计算一圈像素对中间像素的影响，使用不同的卷积核则计算的是不同方面的影响，最终实现提取不同特征的效果。此处参考王木头大佬的视频《从"卷积"、到"图像卷积操作"、再到"卷积神经网络"，"卷积"意义的3次改变》。

6.1.3 卷积

在数学中，卷积被定义为：

( f ∗ g ) ( x ) = ∫ f ( z ) g ( x − z ) d z (f*g)(\boldsymbol{x})=\int f(\boldsymbol{z})g(\boldsymbol{x}-z)d\boldsymbol{z} (f∗g)(x)=∫f(z)g(x−z)dz

用一个例子说明的话，一个不确定的输入函数叠加上一个确定的输出函数，计算最终余量即为卷积。

6.1.4 "沃尔多在哪里"回顾

上面一直将图片作为二维张量，实际上图像一般包含三个通道（即RGB三原色），因此图像应该是一个由高度、宽度和颜色组成的三维张量。故我们应将 X \boldsymbol{X} X 索引为 $X$ i , j , k $\\boldsymbol{X}$ {i,j,k} $X$ i,j,k，由此卷积核相应的调整为 $V$ a , b , c $\\boldsymbol{V}$ {a,b,c} $V$ a,b,c，再添加一个 d d d 以实现不同通道的输出，即：

$H$ i , j , d = ∑ a = − Δ Δ ∑ b = − Δ Δ ∑ c $V$ a , b , c , d $X$ i + a , j + b , c $\\boldsymbol{H}$ {i,j,d} = \sum{a=-\Delta}^\Delta\sum_{b=-\Delta}^\Delta\sum_c $\\boldsymbol{V}$ {a,b,c,d} $\\boldsymbol{X}$ {i+a,j+b,c} $H$ i,j,d=a=−Δ∑Δb=−Δ∑Δc∑ $V$ a,b,c,d $X$ i+a,j+b,c

练习

（1）假设卷积层式（6.3），覆盖的局部区域 Δ = 0 \Delta=0 Δ=0。在这种情况下，证明卷积核为每组通道独立地实现一个全连接层。

若 Δ = 0 \Delta=0 Δ=0 则意味着卷积核大小为1，那感觉和全连接没区别的哇。

（2）为什么平移不变性可能也不是好主意呢？

太单一，也许不同区域需要的卷积核不一样。

（3）当从图像边界像素获取隐藏表示时，我们需要思考哪些问题？

应该考虑关于填充的事情。

（4）描述一个类似的音频卷积层的架构。

将音频信息转换为二维数据或更高维再进行卷积操作。

（5）卷积层也适合于文本数据吗？为什么？

我觉得可以，只要找到合适的方法数据化文本。因为卷积这种对于特征的提取对于自然语言也应该是适用的。

（6）证明在式（6.6）中， f ∗ g = g ∗ f f*g=g*f f∗g=g∗f。

( f ∗ g ) ( x ) = ∫ f ( z ) g ( x − z ) d z = ∫ f ( x − t ) g ( t ) d ( x − t ) ( 令 t = x − z ) = ∫ g ( t ) f ( x − t ) d t = ( g ∗ f ) ( x ) \begin{align} (f*g)(\boldsymbol{x}) &= \int f(\boldsymbol{z})g(\boldsymbol{x-z})d\boldsymbol{z}\\ &= \int f(\boldsymbol{x-t})g(\boldsymbol{t})d\boldsymbol{(x-t)}\qquad(令 t=\boldsymbol{x-z})\\ &= \int g(\boldsymbol{t})f\boldsymbol{(x-t)}d\boldsymbol{t}\\ &= (g*f)(\boldsymbol{x}) \end{align} (f∗g)(x)=∫f(z)g(x−z)dz=∫f(x−t)g(t)d(x−t)(令t=x−z)=∫g(t)f(x−t)dt=(g∗f)(x)