第 2 章算法分析

2.10 线性递归

以 014 节的例题 2.9.1 为例，用递归方式表示阶乘，函数式为：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> f ( n ) = { 1 i f n = 0 n ⋅ f ( n − 1 ) i f n > 0 \begin{split} f(n)=\begin{cases}1&\quad if~n=0\\n\cdot f(n-1)&\quad if ~n\gt0\end{cases} \end{split} </math>f(n)={1n⋅f(n−1)if n=0if n>0

对应的算法描述是：

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long factorial(int n){
    if(n == 0){
        return 1;
    } else {
        return n * factorial(n - 1);
    }
}

在此算法描述中，即使用了递归。对此递归的分析如下：

满足算法的"有穷性"要求：首先判断 n == 0 的条件，满足此条件时，return 1 ，即终止递归的条件或基准情形，从而避免递归无限进行下去。
n * factorial(n - 1) 使得递归朝着基准情形进行自我调用（不断推进），且每一递归实例对自身的调用为一次（合成效益法则），即 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f ( n ) , f ( n − 1 ) , f ( n − 2 ) , ⋯ , f ( 1 ) , f ( 0 ) f(n),f(n-1),f(n-2),\cdots,f(1),f(0) </math>f(n),f(n−1),f(n−2),⋯,f(1),f(0) ，从而构成了一个线性的次序关系，因此称这类递归模式为线性递归。这是递归的最基本形式。

线性递归的模式，是实现减治算法（（decrease and conquer））的一种策略，即：递归每深入一层，待求解问题的规模都缩减一个常数，直至最终达到基准情形。

例题 2.10.1 用递归方式，计算给定 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n n </math>n 个整数的总和

在 011 节的例题 2.6.3 中，用迭代的方式实现了计算给定 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n n </math>n 个整数的总和的问题，此处用递归方式实现：

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int sum(int A[], int n){ //数组求和算法（线性递归版）
    if (n < 1)  //基准情形
        return 0;
    else
        return sum(A, n-1) + A[n - 1]; //递归：前 n-1 项之和，再累计第 n-1 项 
}

1. 递推公式

以例题 2.10.1 为例，说明递归的时间复杂度的一种常用分析方法：递推公式法。

假设计算长度为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n n </math>n 的数组中各个数字之和的时间复杂度是 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> T ( n ) T(n) </math>T(n) ，那么计算长度为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n − 1 n-1 </math>n−1 的数组中各个数字之和的时间复杂度就是 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> T ( n − 1 ) T(n-1) </math>T(n−1) 。根据上述算法中的第 5 行，sum(A, n-1) + A[n - 1] 的结果为 sum(A, n) ，而计算 A[n - 1] 的时间复杂度是常数阶，即：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> T ( n ) = T ( n − 1 ) + O ( 1 ) = T ( n − 1 ) + c 1 (1) T(n) = T(n-1)+O(1)=T(n-1)+c_1\tag{1} </math>T(n)=T(n−1)+O(1)=T(n−1)+c1(1)

当到达基准情形时，即计算 sum(A, 0) 时，直接返回 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 0 0 </math>0 ，return 0; ，时间复杂度也是常数阶 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( 1 ) O(1) </math>O(1) ，即：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> T ( 0 ) = O ( 1 ) = c 2 (2) T(0)=O(1)=c_2\tag{2} </math>T(0)=O(1)=c2(2)

其中，（1）式和（2）式中的 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> c 1 , c 2 c_1,c_2 </math>c1,c2 均为常数。

由（1）式得：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> T ( n ) = T ( n − 1 ) + c 1 = T ( n − 2 ) + c 1 + c 1 = T ( n − 2 ) + 2 c 1 = T ( n − 3 ) + c 1 + 2 c 1 = T ( n − 3 ) + 3 c 1 ⋯ = T ( 1 ) + ( n − 1 ) c 1 = T ( 0 ) + c 1 + ( n − 1 ) c 1 = T ( 0 ) + n c 1 ( 代入 ( 2 ) 式 ) = c 2 + n c 1 = O ( n ) \begin{split} T(n)&=T(n-1)+c_1 \\&=T(n-2)+c_1+c_1=T(n-2)+2c_1 \\&=T(n-3)+c_1+2c_1=T(n-3)+3c_1 \\&\quad\cdots \\&=T(1)+(n-1)c_1 \\&=T(0)+c_1+(n-1)c_1=T(0)+nc_1\quad(代入(2)式) \\&=c_2+nc_1=O(n) \end{split} </math>T(n)=T(n−1)+c1=T(n−2)+c1+c1=T(n−2)+2c1=T(n−3)+c1+2c1=T(n−3)+3c1⋯=T(1)+(n−1)c1=T(0)+c1+(n−1)c1=T(0)+nc1(代入(2)式)=c2+nc1=O(n)

递推法，是一种常用的方法。

在本节对应的练习题中，可以使用递归公式，对阶乘算法计算其时间复杂度。

2. 递归跟踪分析

对于线性递归而言，对递归过程进行跟踪，并不是很复杂的过程，因此也可以通过跟踪过程分析时间复杂度。

以例题 2.10.1 为例，其算法执行过程如图 2.10.1 所示：

图 2.10.1

首先调用参数 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n n </math>n ，再转向 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n − 1 , n − 1 , ⋯ 0 n-1,n-1,\cdots 0 </math>n−1,n−1,⋯0 ，直到参数为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 0 0 </math>0 ，到达了终止条件，不再递归。
将基准情形的解（长度为 0 数组的总和 0）返回给对参数 1 的调用；累加上 A[0] 之后，再返回给对参数 2 的调用；累加上 A[1] 之后，继续返回给对参数 3 的调用；...；如此依次返回，直到最终返回给对参数 n 的调用，此时，只需累加 A[n - 1] 即得到整个数组的总和。

从上述过程可知，每一个递归实例中非递归部分涉及到三类计算：① 判断 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n n </math>n 是否为 0；② 累加 sum(n-1) 和 A[n - 1] ；③ 返回当前的和。并且，在一个递归实例中，这三类计算各执行一次。它们也都是基本操作。所以，每个递归实例的运行时间是常数阶 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( 1 ) O(1) </math>O(1) 。

结合图 2.10.1 可知，共计有 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n + 1 n+1 </math>n+1 个递归实例，即递归深入为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n + 1 n+1 </math>n+1 ，所以整个算法的时间复杂度是： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> T ( n ) = ( n + 1 ) × O ( 1 ) = O ( n ) T(n)=(n+1)\times O(1)=O(n) </math>T(n)=(n+1)×O(1)=O(n) 。

《数据结构》详解精炼：线性递归

第 2 章 算法分析

2.10 线性递归

1. 递推公式

2. 递归跟踪分析

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