了解RSA之前，想必大家都听说过 对称加密算法 ，也就是说信息的收发方会通过实现商订好的密钥，对数据进行加密和解密
1、对称加密
然而这种加密方式有诸多缺陷，随着网络规模的不断增大，每多一个用户就需要保存许多额外的密钥，密钥的管理也将逐渐成为所有人的负担，更加致命的是，密钥必须通过见面协商，而没有办法直接通过网络进行交换，因为密钥的传输过程需要进行加密，而没有密钥则不能进行加密。
那有没有一种可能性，我们用不同的密钥对数据进行加密和解密，其中对数据加密的密钥是对所有人公开的，而对数据接秘密的密钥却仅为接收者持有呢？
在公钥加密算法中，由于公钥是对所有人公开的信息，我们需要保证数据被"公钥"加密之后，不能够被轻易地反推出来，那什么样的算法单向计算容易，而逆向反推却非常难呢？
2、模运算(Modular arithmetic)
又叫做求余运算，像计算机中的伪随机数、散列算法(hash)都是他的经典应用，试想一下下面这个例子：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> 3 3 m o d 7 3^3 mod 7 </math>33mod7
用我们小学二年级学过的知识， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 3 3 3^3 </math>33 得到27，并对7取余数得到 6，但已知答案是6的情况下，我们应当如何寻找 x 的值呢？
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> 3 x m o d 7 = 6 3^x mod 7 = 6 </math>3xmod7=6
由于求余算法并不可逆，我们只能一个一个数的带进去试；
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> 3 0 m o d 7 = 1 3^0 mod 7 = 1 </math>30mod7=1
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> 3 1 m o d 7 = 3 3^1 mod 7 = 3 </math>31mod7=3
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> 3 2 m o d 7 = 2 3^2 mod 7 = 2 </math>32mod7=2
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> 3 3 m o d 7 = 6 3^3 mod 7 = 6 </math>33mod7=6
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> 3 4 m o d 7 = 4 3^4 mod 7 = 4 </math>34mod7=4
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> 3 5 m o d 7 = 5 3^5 mod 7 = 5 </math>35mod7=5
但如果出现下面这个很大很大的数，再去一一尝试就很不现实了。
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> 3 x m o d 8761287461782361827361827361278361823761827312 3^x mod 8761287461782361827361827361278361823761827312 </math>3xmod8761287461782361827361827361278361823761827312
这也就是为什么模运算被称作 单向函数，因为对于大数来说，对模运算求逆根本上不现实的，而公钥加密正是利用了模运算的这个特性。假设我们将原始数据表示成一个数 m(message)，然后我们对 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> m e m^e </math>me求e次幂 ，这里的e(encrypt)可以看作是我们加密时用的密钥，然后我们将结果除以N并取余数，最后得到密文 c(cipher)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> m e m o d N = c m^e mod N = c </math>memodN=c
并且根据我们之前讲到的，正向计算出这里的密文c 很简单，但反向推出这里的原始数据却很难;
加密 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> m e m o d N = c m^e mod N = c </math>memodN=c
解密 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> c d m o d N = m c^d mod N = m </math>cdmodN=m
我们需要对密文c 求 d次幂，这里的d（decrypt）代表另一个用于解密的密钥，最后得到的结果是原始数据m，为了更好的理解，讲两个公式合并为一个更为简洁的形式：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> ( m e ) d m o d N = m (m^e)^d mod N = m </math>(me)dmodN=m
m的e*d次幂，除以N取余数，将会得到原始数据m，可以发现，如何选取这里的e和d是公钥加密的关键，欧拉定理(Euler's Theorem）公式：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> m φ ( n ) ≡ 1 ( m o d n ) mφ(n)≡1(mod n) </math>mφ(n)≡1(mod n)
欧拉定理表示，对于任何一个与n互斥的正整数m，取它的 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> φ n φ^n </math>φn，并除以n取余数，结果都永远等于1，这里的 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> φ n φ^n </math>φn是欧拉函数，它代表在小于或等于n的正整数中，有多少个与n互斥的数，举个例子： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> φ 6 φ^6 </math>φ6 在小于等于6的正整数中，只有1和5互为质数，也就是说，他们除了1以外，并不存在其他公约数，所以 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> φ n φ^n </math>φn = 2。
在了解了 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> φ n φ^n </math>φn函数之后，回到欧拉定理，又双叒叕开始变换公式了；
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> ( m φ ( n ) ) k ≡ 1 k ( m o d n ) (mφ(n))^k≡1^k(mod n) </math>(mφ(n))k≡1k(mod n)
在等式两端同时去k次幂，k代表任意的正整数，接着在两端同时乘以m，
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> ( ( m φ ( n ) ) k ) ∗ m ≡ 1 k ∗ m ( m o d n ) ((mφ(n))^k)*m≡1^k*m(mod n) </math>((mφ(n))k)∗m≡1k∗m(mod n)
并简化成这样的形式：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> ( ( m k ) φ ) n ) + 1 m o d n = m ((m^k)^φ)^n)^+1 mod n = m </math>((mk)φ)n)+1modn=m
是不是有点眼熟？对了把它和上面的这个公式对比一下:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> ( m e ) d m o d N = m (m^e)^d mod N = m </math>(me)dmodN=m
你会发现，公式的指数 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> k φ ( n ) + 1 = e d kφ(n)+1 = ed </math>kφ(n)+1=ed，变换一下得到：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> d = ( k φ ( n ) + 1 ) / e d = (kφ(n)+1)/e </math>d=(kφ(n)+1)/e
也就是说，我们选取这里的 k,n,e 来计算出解密的密钥d。实际上，要计算 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> k φ ( n ) kφ(n) </math>kφ(n)的唯一办法就是对数n做质因数分解，比如 27 = 3 * 3 * 3、11445 = 3 * 5 * 7 * 109 这样，然而对大数的分解是很困难的事情，所以对 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> k φ ( n ) 的 kφ(n)的 </math>kφ(n)的求解，可以看作是计算上不可行的，但是如果n本身是一个质数，情况就有所不同了，比如对于kφ(7)来说，小于等于7并与7互质的数有1-6，除了7本身，因此 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> k φ ( 7 ) = 6 kφ(7)=6 </math>kφ(7)=6；同理对于 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> k φ ( 13 ) kφ(13) </math>kφ(13)来说，与13互质的数，除了13本身，其他的全部都是，因此kφ(13)= 12。
其实对于任何的 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> k φ ( p ) = p − 1 kφ(p) = p-1 </math>kφ(p)=p−1，除此之外， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> φ φ </math>φ还有一个重要的特性，对于任意两个互质的整数 p 和 q ， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> φ ( p ) = p − 1 φ(p) = p -1 </math>φ(p)=p−1 可以拆分为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> φ ( p ∗ q ) = φ ( p ) ∗ φ ( q ) φ(p*q) = φ(p) * φ(q) </math>φ(p∗q)=φ(p)∗φ(q) ,例如我们可以选取两个质数17和23，由于 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> φ ( 17 ∗ 23 ) = φ ( 17 ) ∗ φ ( 23 ) φ(17*23) = φ(17) * φ(23) </math>φ(17∗23)=φ(17)∗φ(23) = 16*32 = 352，因此可得： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> φ ( 17 ∗ 23 ) = φ ( 391 ) = 352 φ(17*23) =φ(391) = 352 </math>φ(17∗23)=φ(391)=352，带入 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> d = ( k φ ( n ) + 1 ) / e d = (kφ(n)+1)/e </math>d=(kφ(n)+1)/e再得：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> d = ( k φ ( n ) + 1 ) / e = ( 5 ∗ 352 + 1 ) / 3 = 587 d = (kφ(n)+1)/e = (5*352+1)/3 = 587 </math>d=(kφ(n)+1)/e=(5∗352+1)/3=587
于是在k=5的情况下，求得用于解密的密钥d=587，在求出了私钥d以后，算法会将e、n公布，作为加密时的公钥，而d将保存下来作为解密时用的私钥，其他人由于不知道p和q这两个关键的质因数，没有办法计算出这里的 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> φ n φ^n </math>φn，因而无从破解这里的私钥 d，公钥加密正是利用了这个信息的不对等，让加密者能够快速够着出一个 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> φ n φ^n </math>φn，而其他人却无法在有限的时间内求解它。
3、举个例子
用e = 3，d = 587，n = 391 来模拟一段信息加密解密的过程，我们要加密的字符是"a"，它所对应的ascii码是97，于是 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 9 7 3 m o d 391 = 79 97^3 mod 391 = 79 </math>973mod391=79，79是我们加密后的密文，为了解密 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 7 9 5 87 m o d 391 = 97 79^587 mod 391 = 97 </math>79587mod391=97，因此成功还原了字符"a"。
以上讲到的就是公钥加密算法的全部工作原理，这个算法在首次被发现之后，并被机密作为封了起来，后来又在1977年被三个麻省理工的数学家 Ron Rivest 、Adi Shamir 、 Leonard Adleman 独立发掘，成为当下众所周知的 RSA 加密算法，像数字签名，数字证书，SSH、HTTPS的加密连接，全部都是它的典型应用。
在实际使用中，由于公钥加密的计算量比较大，速度慢，通常会和对称加密算法一同使用，公钥加密算法常被用作最初连接的建立，而真正数据传输的过程，会交由对称加密算法来处理，完结！