伯特兰德寡头模型(Bertrand Model)
0 引言
在前面几篇文章中，我们介绍了古诺模型(Cournot duopoly model)和斯塔克尔伯格模型(Stackelberg model)
博弈论------连续产量古诺模型(Cournot duopoly model)
博弈论------斯塔克尔伯格模型(Stackelberg model)
这两个模型都是把厂商的产量作为竞争手段，是一种产量竞争模型 ，也就是说博弈方的决策变量都是产量，而伯特兰德模型是价格竞争模型 。
同时我们也介绍了反应函数法 ：得益是策略多元连续函数的博弈,都可以求每个博弈方的反应函数，解出各博弈方反应函数的交点就是纳什均衡。这种用反应函数求纳什均衡的方法,称为"反应函数法"。我们也分别用反应函数对古诺模型和斯塔克尔伯格模型进行了求解。
在这篇文章中，我们将继续推进反应函数法的使用，利用该方法来求解伯特兰德模型。
1 伯特兰德寡头模型
1.1 模型建立
在伯特兰德价格博弈模型中，两寡头生产有一定差别的产品。产品差别指在品牌、质量和包装等方面有所不同的同类产品,有很强的替代性,但又不是完全可替代。最后,仍强调两个厂商是同时决策的。假设厂商1生产产品1，厂商2生产产品2。
产品价格 ：P1、P2分别为厂商1、厂商2的产品价格；
潜在市场规模 ：a1、a2分别为产品1、产品2的潜在市场规模；
生产成本 ：假设两个厂商无固定成本,边际生产成本分别为c1和c2；
价格弹性 ：b1、b2为产品1、产品2的价格弹性；
产品的替代系数 ：d1、d2为两个产品的替代系数。
根据上述参数设置，我们得到了以下的模型：
假设当厂商1和厂商2价格分别为P1和 P2时,各自的需求函数为：
q 1 = q 1 ( P 1 , P 2 ) = a 1 − b 1 P 1 + d 1 P 2 q_1=q_1 (P_1,P_2 )=a_1-b_1 P_1+d_1 P_2 q1=q1(P1,P2)=a1−b1P1+d1P2
q 2 = q 2 ( P 1 , P 2 ) = a 2 − b 2 P 2 + d 2 P 1 q_2=q_2 (P_1,P_2 )=a_2-b_2 P_2+d_2 P_1 q2=q2(P1,P2)=a2−b2P2+d2P1
在该博弈中,两博弈方的决策变量为产品价格 ，因此各自的策略空间为 s 1 = [ 0 ， P 1 m a x ] s_1=[0，P_{1max}] s1=[0，P1max]和 s 2 = [ 0 ， P 2 m a x ] s_2=[0，P_{2max}] s2=[0，P2max],其中 P 1 m a x P_{1max} P1max和 P 2 m a x P_{2max} P2max是厂商1和厂商2还能卖出产品的最高价格。两博弈方的得益是各自的利润,即销售收益减去成本,它们都是双方价格的函数为:
π 1 = π 1 ( P 1 , P 2 ) = P 1 q 1 − c 1 q 1 = ( P 1 − c 1 ) ( a 1 − b 1 P 1 + d 1 P 2 ) π_1=π_1 (P_1,P_2 )=P_1 q_1-c_1 q_1=(P_1-c_1)(a_1-b_1 P_1+d_1 P_2) π1=π1(P1,P2)=P1q1−c1q1=(P1−c1)(a1−b1P1+d1P2)
π 2 = π 2 ( P 1 , P 2 ) = P 2 q 2 − c 2 q 2 = ( P 2 − c 2 ) ( a 2 − b 2 P 2 + d 2 P 1 ) π_2=π_2 (P_1,P_2 )=P_2 q_2-c_2 q_2=(P_2-c_2)(a_2-b_2 P_2+d_2 P_1) π2=π2(P1,P2)=P2q2−c2q2=(P2−c2)(a2−b2P2+d2P1)
1.2 模型求解
我们用反应函数法分析这个博弈 。对上述得益函数求偏导，并且偏导为0时存在最大值：
∂ π 1 ∂ P 1 = − 2 b 1 P 1 + c 1 b 1 + a 1 + d 1 P 2 \frac{∂π_1}{∂P_1}=-2b_1 P_1+c_1 b_1+a_1+d_1 P_2 ∂P1∂π1=−2b1P1+c1b1+a1+d1P2
∂ π 2 ∂ P 2 = − 2 b 2 P 2 + c 2 b 2 + a 2 + d 2 P 1 \frac{∂π_2}{∂P_2}=-2b_2 P_2+c_2 b_2+a_2+d_2 P_1 ∂P2∂π2=−2b2P2+c2b2+a2+d2P1
令 ∂ π 1 ∂ P 1 = 0 \frac{∂π_1}{∂P_1}=0 ∂P1∂π1=0， ∂ π 2 ∂ P 2 = 0 \frac{∂π_2}{∂P_2}=0 ∂P2∂π2=0得到两个厂商的反应函数为：
P 1 = R 1 ( P 2 ) = 1 2 b 1 ( c 1 b 1 + a 1 + d 1 P 2 ) P_1=R_1 (P_2 )=\frac{1}{2b_1} (c_1 b_1+a_1+d_1 P_2) P1=R1(P2)=2b11(c1b1+a1+d1P2)
P 2 = R 2 ( P 1 ) = 1 2 b 2 ( c 2 b 2 + a 2 + d 2 P 1 ) P_2=R_2 (P_1 )=\frac{1}{2b_2}(c_2 b_2+a_2+d_2 P_1) P2=R2(P1)=2b21(c2b2+a2+d2P1)
回顾一下我们在反应函数文章中的介绍，该博弈的纳什均衡是两条反应函数对应图像的交点 ( P 1 ∗ , P 2 ∗ ) (P_1^*,P_2^*) (P1∗,P2∗),并且这个交点需要满足：
P 1 ∗ = 1 2 b 1 ( c 1 b 1 + a 1 + d 1 P 2 ∗ ) P_1^*=\frac{1}{2b_1} (c_1 b_1+a_1+d_1 P_2^*) P1∗=2b11(c1b1+a1+d1P2∗)
P 2 ∗ = 1 2 b 2 ( c 2 b 2 + a 2 + d 2 P 1 ∗ ) P_2^*=\frac{1}{2b_2}(c_2 b_2+a_2+d_2 P_1^*) P2∗=2b21(c2b2+a2+d2P1∗)
解上述的二元一次方程组，得：
P 1 ∗ = d 1 ( a 2 + b 2 c 2 ) + 2 b 2 ( a 1 + c 1 b 1 ) 4 b 1 b 2 − d 1 d 2 P_1^*=\frac{d_1 (a_2+b_2 c_2 )+2b_2 (a_1+c_1 b_1)}{4b_1 b_2-d_1 d_2} P1∗=4b1b2−d1d2d1(a2+b2c2)+2b2(a1+c1b1)
P 2 ∗ = d 2 ( a 1 + c 1 b 1 ) + 2 b 1 ( a 2 + b 2 c 2 ) 4 b 1 b 2 − d 1 d 2 P_2^*=\frac{d_2 (a_1+c_1 b_1 )+2b_1 (a_2+b_2 c_2)}{4b_1 b_2-d_1 d_2} P2∗=4b1b2−d1d2d2(a1+c1b1)+2b1(a2+b2c2)
则 ( P 1 ∗ , P 2 ∗ ) (P_1^*,P_2^*) (P1∗,P2∗)为该博弈的唯一纳什均衡。将 P 1 ∗ 、 P 2 ∗ P_1^*、P_2^* P1∗、P2∗代入得益函数中，可以求得两个厂商的均衡得益，这里我就不再赘述了，有兴趣的读者可以自行代入计算。
谢老师的书中，对该模型的各参数做了具体假设： a 1 = a 2 = 28 ， b 1 = b 2 = 1 , d 1 = d 2 = 0.5 ， c 1 = c 2 = 2 a_1=a_2=28，b_1=b_2=1,d_1=d_2=0.5，c_1=c_2=2 a1=a2=28，b1=b2=1,d1=d2=0.5，c1=c2=2，则可以解得 P 1 ∗ = P 2 ∗ = 20 ， u 1 ∗ = u 2 ∗ = 324 P_1^*=P_2^*=20，u_1^*=u_2^*=324 P1∗=P2∗=20，u1∗=u2∗=324。
2 总结
更一般的伯特兰德模型可以有n个寡头,产品也可以是无差别的。产品无差别时,可以考虑消费者对价格的敏感性问题。因为如果所有消费者对价格都非常敏感,则生产无差别产品的厂商中价格高的一方完全卖不出去,价格差别不可能存在。多寡头伯特兰德模型的分析是两寡头模型的简单推广,只需求出每个厂商对其他各个厂商价格的反应函数,解出它们的交点即可。