Leetcode 1908. Nim 游戏 II

1.题目基本信息

1.1.题目描述

Alice 和 Bob 交替进行一个游戏,由 Alice 先手。

在游戏中,共有 n 堆石头。在每个玩家的回合中,玩家需要 选择 任一非空石头堆,从中移除任意 非零 数量的石头。如果不能移除任意的石头,就输掉游戏,同时另一人获胜。

给定一个整数数组 piles ,piles[i] 为 第 i 堆石头的数量,如果 Alice 能获胜返回 true ,反之返回 false 。

Alice 和 Bob 都会采取 最优策略 。

1.2.题目地址

https://leetcode.cn/problems/game-of-nim/description/

2.解题方法

2.1.解题思路

SG函数 / 记忆化搜索 / 公式

2.2.解题步骤

公式证明:

命题:如果nim游戏先手选择时的石子堆数为[a1,a2,...,an],如果x=a1^a2^...^an=0,则先手必败,如果x!=0,则必胜

证明1(x!=0,则先手必胜):

  • 假设当前的状态x=a1^a2^...^an,设x的二进制最高位为k,那么一定存在一个ai,其二进制的第k位为1,由异或的运算规律可知,ai^x<ai(ai^x的最高位被异或没了,但是ai二进制最高位还在),现在从ai中挑选出若干个,使ai变成ai^x,此时的x=a1^a2^...^ai^x^...^an=0(异或的交换律),所以一定存在一个选择方式,使后手处于必败态(即x==0)

证明2:(x==0,则后手必败)(反证)

  • 假设当前的状态x=a1^a2^...^an=0,假设存在一个选择方法,使ai变成bi(ai>bi),且x2=a1^a2^...^bi^...^an=0;则x^x2=ai^bi=0,即ai==bi,这和ai>bi假设冲突,所以推翻假设,即不存在一个选择方法,使选择后的x!=0,得证

3.解题代码

python代码

python 复制代码
# 功能:求集合st第一个不存在的自然数
def mex(st:set) -> int:
    i = 0
    while i in st:
        i += 1
    return i

# 功能:记忆化搜索计算sg值
memo = {}
def sg(x:int) -> int:
    if x not in memo:
        # 1.子游戏中递归出口
        if x == 0:
            return 0
        # 2.子游戏中x状态的下一个状态的sg值集合
        st = set()
        for i in range(x):
            st.add(sg(i))
        memo[x] = mex(st)
    return memo[x]

class Solution:
    def nimGame(self, piles: List[int]) -> bool:
        # 思路:SG函数
        result = 0
        for pile in piles:
            result ^= sg(pile)
        return result != 0

    def nimGame1(self, piles: List[int]) -> bool:
        # 思路:公式
        ans = 0
        for num in piles:
            ans ^= num
        return ans != 0

4.执行结果

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