Leetcode 1908. Nim 游戏 II

1.题目基本信息

1.1.题目描述

Alice 和 Bob 交替进行一个游戏，由 Alice 先手。

在游戏中，共有 n 堆石头。在每个玩家的回合中，玩家需要选择任一非空石头堆，从中移除任意非零数量的石头。如果不能移除任意的石头，就输掉游戏，同时另一人获胜。

给定一个整数数组 piles ，piles $i$ 为第 i 堆石头的数量，如果 Alice 能获胜返回 true ，反之返回 false 。

Alice 和 Bob 都会采取最优策略。

1.2.题目地址

https://leetcode.cn/problems/game-of-nim/description/

2.解题方法

2.1.解题思路

SG函数 / 记忆化搜索 / 公式

2.2.解题步骤

公式证明：

命题：如果nim游戏先手选择时的石子堆数为 $a1,a2,...,an$ ，如果x=a1^a2^...^an=0，则先手必败，如果x!=0，则必胜

证明1（x!=0，则先手必胜）：

假设当前的状态x=a1^a2^...^an，设x的二进制最高位为k，那么一定存在一个ai，其二进制的第k位为1，由异或的运算规律可知，ai^x<ai（ai^x的最高位被异或没了，但是ai二进制最高位还在），现在从ai中挑选出若干个，使ai变成ai^x，此时的x=a1^a2^...^ai^x^...^an=0（异或的交换律），所以一定存在一个选择方式，使后手处于必败态（即x==0）

证明2：（x==0，则后手必败）（反证）

假设当前的状态x=a1^a2^...^an=0，假设存在一个选择方法，使ai变成bi（ai>bi），且x2=a1^a2^...^bi^...^an=0；则x^x2=ai^bi=0，即ai==bi，这和ai>bi假设冲突，所以推翻假设，即不存在一个选择方法，使选择后的x!=0，得证

3.解题代码

python代码

python 复制代码

# 功能：求集合st第一个不存在的自然数
def mex(st:set) -> int:
    i = 0
    while i in st:
        i += 1
    return i

# 功能：记忆化搜索计算sg值
memo = {}
def sg(x:int) -> int:
    if x not in memo:
        # 1.子游戏中递归出口
        if x == 0:
            return 0
        # 2.子游戏中x状态的下一个状态的sg值集合
        st = set()
        for i in range(x):
            st.add(sg(i))
        memo[x] = mex(st)
    return memo[x]

class Solution:
    def nimGame(self, piles: List[int]) -> bool:
        # 思路：SG函数
        result = 0
        for pile in piles:
            result ^= sg(pile)
        return result != 0

    def nimGame1(self, piles: List[int]) -> bool:
        # 思路：公式
        ans = 0
        for num in piles:
            ans ^= num
        return ans != 0