递归乘法。 写一个递归函数,不使用 * 运算符, 实现两个正整数的相乘。可以使用加号、减号、位移,但要吝啬一些。
示例1:
输入:A = 1, B = 10
输出:10
示例2:
输入:A = 3, B = 4
输出:12
提示:
- 保证乘法范围不会溢出
我的答案:
一、信息
**- 需要实现一个递归函数来完成两个正整数的乘法。
- 不可以使用`*`运算符。
- 可以使用加号、减号、位移。
- 需要尽可能地减少操作的使用,即要吝啬一些。**
二、分析
**#### 思考过程中问题的出现:
- **如何不使用`*`运算符来实现乘法?**
- 乘法可以看作是多次加法。例如,`3 * 4`可以看作是`4 + 4 + 4`。
- **如何使用递归来实现乘法?**
- 可以将一个数分解为多个较小的数的和,然后递归地计算这些较小的数的乘积。**
**3. **如何减少操作的使用?**
- 可以使用位移操作来实现快速加法和减法。
- 可以通过减少递归的深度来减少操作的使用。**
**#### 问题的答案:
- **乘法的实现**:
- 通过递归和加法来实现乘法。
- **递归的使用**:
- 将一个数分解为多个较小的数的和,然后递归地计算这些较小的数的乘积。**
**3. **减少操作的使用**:
- 使用位移来实现快速加法和减法。
- 通过优化递归的实现来减少递归的深度。**
**#### 思路:
- **基础思路**:
- 将乘法`A * B`看作是`A`加自己`B`次,或者`B`加自己`A`次。
- 使用递归来实现多次加法。**
**2. **优化思路**:
- 使用位移操作来实现快速加法和减法。
- 优化递归的实现,减少递归的深度。**
三、步骤(算法流程图)
**1. **基准情况**:
- 如果`A`或`B`中的任何一个为`1`,返回另一个数。
- 如果`A`或`B`中的任何一个为`0`,返回`0`。**
**2. **递归步骤**:
- 将`A`或`B`分解为两个较小的数的和,例如`A = A1 + A2`,`B = B1 + B2`。
- 递归地计算这些较小的数的乘积,例如`A1 * B1`,`A1 * B2`,`A2 * B1`,`A2 * B2`。
- 将这些乘积的结果相加,得到最终的乘积。**
**3. **优化**:
- 使用位移操作来实现快速加法和减法。
- 优化递归的实现,例如通过记忆化来避免重复计算。**
这个流程图可以用伪代码来表示,如下:
function multiply(A, B):
if A == 1:
return B
if B == 1:
return A
if A == 0 or B == 0:
return 0
A1, A2 = decompose(A)
B1, B2 = decompose(B)
product1 = multiply(A1, B1)
product2 = multiply(A1, B2)
product3 = multiply(A2, B1)
product4 = multiply(A2, B2)
return product1 + product2 + product3 + product
在实际实现时,可以进一步优化这个算法,例如通过记忆化来避免重复计算,或者通过位移操作来实现快速加法和减法。
四、具体实现
#### C语言实现
cpp
#include <stdio.h>
int multiply(int A, int B) {
if(A == 1) return B;
if(B == 1) return A;
if(A == 0 || B == 0) return 0;
return B + multiply(A - 1, B);
}
int main() {
printf("%d\n", multiply(1, 10)); // 输出10
printf("%d\n", multiply(3, 4)); // 输出12
return 0;
}
#### C++语言实现
cpp
#include <iostream>
class Solution {
public:
int multiply(int A, int B) {
if(A == 1) return B;
if(B == 1) return A;
if(A == 0 || B == 0) return 0;
return B + multiply(A - 1, B);
}
};
int main() {
Solution solution;
std::cout << solution.multiply(1, 10) << std::endl; // 输出10
std::cout << solution.multiply(3, 4) << std::endl; // 输出12
return 0;
}
#### Java语言实现
java
public class Solution {
public int multiply(int A, int B) {
if(A == 1) return B;
if(B == 1) return A;
if(A == 0 || B == 0) return 0;
return B + multiply(A - 1, B);
}
public static void main(String[] args) {
Solution solution = new Solution();
System.out.println(solution.multiply(1, 10)); // 输出10
System.out.println(solution.multiply(3, 4)); // 输出12
}
}
五、检查错误
**在实际编写代码时,需要注意以下几点:
- **递归终止条件**:确保所有的基准情况都被正确处理,例如`A`或`B`为`1`或`0`的情况。
- **递归调用**:确保递归调用的参数是正确的,避免无限递归。
- **返回值**:确保在所有路径上都有返回值。**
六、三种语言实现的异同
**#### 相同点:
- **逻辑结构**:三种语言的实现在逻辑结构上是相同的,都是基于递归的方法来实现乘法。
- **基准情况**:三种语言都需要处理基准情况,即`A`或`B`为`1`或`0`的情况。
- **递归调用**:三种语言都使用递归调用来实现乘法。**
**#### 不同点:
- **语法**:三种语言的语法有所不同,例如函数定义和调用的语法。
- **输出**:三种语言输出的方式不同,C语言使用`printf`,C++使用`cout`,Java使用`System.out.println`。
- **类的使用**:在C++和Java中,代码是以类的形式组织的,而在C语言中,代码是以函数的形式组织的。**
这些实现都是基于递归的简单实现,可以进一步优化,例如通过记忆化来避免重复计算,或者通过位移操作来实现快速加法和减法。
七、学习收获
**1. **递归的应用**:
- 通过这道题目,我们学习了如何使用递归来解决问题,特别是如何将一个问题分解成更小的子问题,然后递归地解决这些子问题。**
**2. **基础算法概念**:
- 我们学习了乘法可以被看作是重复的加法,这是一个基础但重要的概念,帮助我们理解了算法是如何工作的。**
**3. **编程实践与思维训练**:
- 编写代码来实现算法使我们得以实际操作来理解递归的工作原理,这对于培养逻辑思维和编程能力都是非常有帮助的。**
**4. **多语言实现与比较**:
- 通过在不同的编程语言中实现相同的算法,我们学习了这些语言之间的相似性和差异性,这有助于我们更好地理解和掌握这些语言。**
**5. **问题分析与解决策略**:
- 我们学习了如何分析问题,如何在给定的约束条件下寻找解决方案,这对于培养我们的问题解决能力和创新思维都是非常重要的。**
**6. **优化思维**:
- 虽然这道题目的基础实现相对简单,但它提供了优化的可能性,例如通过记忆化来避免重复计算,这有助于培养我们的优化思维。**
**7. **算法的通用性**:
- 这道题目展示了算法的通用性,即同一算法可以在不同的语言中实现,并且可以应用于不同的问题中。**
**8. **递归的优化与限制**:
- 通过实践,我们可以更加深入地理解递归的优势与局限,例如递归可能导致的栈溢出问题,以及如何通过各种策略来优化递归。**
### 总结:
这道题目不仅提供了对递归和基础算法概念的实践,还通过多语言实现展示了编程语言的异同,同时也提供了对问题分析、解决策略和优化思维的训练。这些都是计算机科学和编程领域中非常重要的知识和技能。
不熟悉递归的读者你们可以看看我的递归文章传送门7.6 函数的递归调用