题目：求100之内的素数。
求解100以内的素数是一个常见的编程任务。素数是大于1且只能被1和自身整除的整数。我们将使用三种常见的方法来解决这个问题：穷举法、埃拉托斯特尼筛法和优化的埃拉托斯特尼筛法。
方法1: 穷举法
解题思路:
- 从2开始遍历每个数，对每个数判断是否为素数，判断方法是看是否能被比它小的数整除。
- 如果不能被任何比它小的数整除，则它是素数。
实现代码:
c
#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>
bool is_prime(int num) {
if (num < 2)
return false;
for (int i = 2; i < num; i++) {
if (num % i == 0)
return false;
}
return true;
}
void print_primes(int limit) {
for (int i = 2; i <= limit; i++) {
if (is_prime(i))
printf("%d ", i);
}
}
int main() {
int limit = 100;
printf("Prime numbers up to %d:\n", limit);
print_primes(limit);
return 0;
}优缺点:
- 优点:
- 算法简单，容易理解和实现。
- 缺点:
- 效率较低，时间复杂度为O(n^2)。
方法2: 埃拉托斯特尼筛法
解题思路:
- 初始化一个布尔数组表示每个数是否为素数，初始所有数为素数。
- 从2开始，将所有的倍数标记为非素数。
- 最终剩下的未标记的数就是素数。
实现代码:
c
#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>
void sieve_of_eratosthenes(int limit) {
bool is_prime[limit + 1];
for (int i = 0; i <= limit; i++)
is_prime[i] = true;
for (int p = 2; p * p <= limit; p++) {
if (is_prime[p]) {
for (int i = p * p; i <= limit; i += p)
is_prime[i] = false;
}
}
printf("Prime numbers up to %d:\n", limit);
for (int i = 2; i <= limit; i++) {
if (is_prime[i])
printf("%d ", i);
}
}
int main() {
int limit = 100;
sieve_of_eratosthenes(limit);
return 0;
}优缺点:
- 优点:
- 算法效率较高，时间复杂度为O(n log log n)。
- 缺点:
- 占用较多内存，空间复杂度为O(n)。
方法3: 优化的埃拉托斯特尼筛法
解题思路:
- 优化埃拉托斯特尼筛法，对每个素数的倍数进行标记时，从该素数的平方开始标记，而不是从素数的倍数开始。
实现代码:
c
#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>
void optimized_sieve_of_eratosthenes(int limit) {
bool is_prime[limit + 1];
for (int i = 0; i <= limit; i++)
is_prime[i] = true;
for (int p = 2; p * p <= limit; p++) {
if (is_prime[p]) {
for (int i = p * p; i <= limit; i += p)
is_prime[i] = false;
}
}
printf("Prime numbers up to %d:\n", limit);
for (int i = 2; i <= limit; i++) {
if (is_prime[i])
printf("%d ", i);
}
}
int main() {
int limit = 100;
optimized_sieve_of_eratosthenes(limit);
return 0;
}优缺点:
- 优点:
- 算法效率高，时间复杂度为O(n log log n)。
- 占用较少内存，空间复杂度为O(n)。
- 缺点:
- 需要理解和实现的优化较多，相对于简单埃拉托斯特尼筛法更复杂。
总结和推荐
- 推荐的方法: 优化的埃拉托斯特尼筛法
- 优化的埃拉托斯特尼筛法综合了效率和空间复杂度的优点，是求解素数的较好选择。
- 穷举法简单但效率低，不适用于大规模数据。
- 埃拉托斯特尼筛法是常用且高效的方法，占用较多内存。
- 优化的埃拉托斯特尼筛法在效率和内存占用上进行了平衡，是常用且推荐的方法。