算法日记36：leetcode095最长公共子序列(线性DP)

一、题目：

二、题解

1、解题思路：

1）通过观察我们发现，题目是典型的满足线性DP性质的题目，即满足

• 最优子结构（子问题取最优，最终的大问题必然最优）
• 无后效性（即当前下标i的取值与其后续下标(i~n)无关）
• 子问题重叠性（解决了子问题的重叠产生的时间浪费，即空间换时间）

2）动态规划解题思路

• dp[i][j] :来表示第一个串的前i位，第二个串的前j位的 L C S LCS LCS的长度

1^#^重述问题：

• 从text1(0->len_1),text2(0->len_2)中选择最长公共子序列

2^#^找到最后一步：

• 从text1中选择了text1[i]作为最后一位,从text2中选了text2[j]作为最后一位,使得公共子序列最长

3^#^去掉最后一步，问题变成了什么？

• 在text1(0~i-1)，text2(0~j-1)中选择最长公共子序列。
• 原问题答案=dp[i-1][j-1]+(考虑i,j的情况)

4^#^考虑边界：

• 数组结束

2、关键代码解析:

原问题答案=dp[i-1][j-1]+(考虑i,j的情况)

      if(text1[1]==text2[1]) dp[1][1]=1;    //对第一位数初始化
      for(int i=1;i<=len1;i++)//遍历text1
      {
        for(int j=1;j<=len2;j++) //遍历text2
        {
          if(text1[i]==text2[j]) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-1]+1);
          else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
        }
      }
       return dp[len1][len2]; //到[len1][len2]的最长公共子序列

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1^#^. 代码的作用

这段代码的作用是：

计算两个字符串 text1 和 text2 之间的最长公共子序列的长度。

什么是最长公共子序列？

最长公共子序列指的是，在不改变字符顺序的前提下，两个字符串中都出现的最长子序列 。

注意，子序列不同于子串，子序列不要求连续。

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2.^#^ 代码解析

（1）初始化 dp 数组

memset(dp,0,sizeof(dp));

• memset 函数用于将 dp 数组初始化为 0，确保 dp 里面的值不会影响后续计算。

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（2）在 text1 和 text2 前面添加一个空格

text1=' '+text1;
text2=' '+text2;

• 这里在 text1 和 text2 前面添加了一个空格 ，这样 text1 和 text2 的索引可以从 1 开始，避免处理 0 索引的特殊情况，提高代码可读性。

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（3）获取字符串长度

int len1=text1.size()-1,len2=text2.size()-1;

• 这里计算 text1 和 text2 的实际长度（去掉前面额外添加的空格）。

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（4）初始化 dp[1][1]

if(text1[1]==text2[1]) dp[1][1]=1;

• 这个条件判断 text1 和 text2 的第一个字符是否相同 ，如果相同，则 dp[1][1] = 1，表示最长公共子序列长度为 1。

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（5）动态规划填表

for(int i=1;i<=len1;i++)// 遍历 text1
{
  for(int j=1;j<=len2;j++) // 遍历 text2
  {
    if(text1[i]==text2[j]) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-1]+1);
    else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
  }
}

• 外层循环 遍历 text1 的每个字符。
• 内层循环 遍历 text2 的每个字符。
• 状态转移方程 :

  • 如果 text1[i] == text2[j] :

    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-1] + 1);

    • 说明当前字符匹配，最长公共子序列长度 +1。

  • 如果 text1[i] != text2[j] :

    dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);

    • 说明当前字符不匹配，我们可以选择：
      1. 不考虑 text1[i]，用 dp[i-1][j] 的结果
      2. 不考虑 text2[j]，用 dp[i][j-1] 的结果
      3. 取两者的 max，得到最长公共子序列的长度。

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（6）返回最终答案

return dp[len1][len2]; // 返回最长公共子序列的长度

• dp[len1][len2] 存储了 text1 的前 len1 个字符和 text2 的前 len2 个字符的 最长公共子序列长度。

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3.^#^ 复杂度分析

• 时间复杂度 : O(n*m)，n 和 m 分别是 text1 和 text2 的长度。
• 空间复杂度 : O(n*m)，因为 dp 数组占用了 O(n*m) 的空间。

如果使用滚动数组优化，可以降到 O(min(n, m)) 的空间复杂度。

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3、完整代码解析：

const int N=1007;
int dp[N][N];

class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) 
    {
      memset(dp,0,sizeof(dp));
      text1=' '+text1;
      text2=' '+text2;
      int len1=text1.size()-1,len2=text2.size()-1;

      if(text1[1]==text2[1]) dp[1][1]=1;    //对第一位数初始化
      for(int i=1;i<=len1;i++)//遍历text1
      {
        for(int j=1;j<=len2;j++) //遍历text2
        {
          if(text1[i]==text2[j]) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-1]+1);
          else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
        }
      }
       return dp[len1][len2]; //到[len1][len2]的最长公共子序列
    }
};