题目描述
小G养了很多狗。
小G一共有 n × n n\times n n×n 条狗，在一个矩阵上。小G想让狗狗交朋友，一条狗狗最多只能交一个朋友，不必所有狗狗都有朋友。但是狗狗交朋友有要求，具体的，第 i i i 行第 j j j 列的狗有两个值 d i , j ∈ { U,D,L,R } d_{i,j}\in\{\texttt{U,D,L,R}\} di,j∈{U,D,L,R} 表示它只能和上/下/左/右的狗狗交朋友，如果成功交友能得到 a i , j a_{i,j} ai,j 的喜悦值。一个交友方案的价值就是所有有朋友的狗狗的喜悦值之和。
小G想知道所有交友方案的价值和，由于这个数可能很大，请对 998244353 998244353 998244353 取模并告诉小G。
朋友关系是双向的,两条狗互相交朋友需要两个d都满足,上下左右不必相邻
上下左右是指正上/正下/正左/正右，也就是要在同一行同一列
很显然，只有在一行中左 R R R 右 L L L，在一列中上 D D D 下 U U U，才会匹配成功。所以每一行列之间是独立，互不干扰的。
考虑一行的情况做动态规划。其他行列的情况类似。
设状态 f i , j , g i , j f_{i,j},g_{i,j} fi,j,gi,j 表示前 i i i 个，选了若干个 R R R 狗，还有 j j j 个 R R R 狗未匹配，此时的方案数，权值和。
初始状态 f 0 , 0 = 1 f_{0,0}=1 f0,0=1
分类讨论转移
-
不选当前狗
则 f i , j = f i , j + f i − 1 , j f_{i,j}=f_{i,j}+f_{i-1,j} fi,j=fi,j+fi−1,j， g i , j = g i , j + g i − 1 , j g_{i,j}=g_{i,j}+g_{i-1,j} gi,j=gi,j+gi−1,j
-
选了当前狗，是 L L L
方案数：此时可以在 j + 1 j+1 j+1 个未匹配的 R R R 任选一个与当前的 L L L 匹配， j + 1 j+1 j+1 种方案。
f i , j = f i , j + f i − 1 , j + 1 ⋅ ( j + 1 ) f_{i,j}=f_{i,j}+f_{i-1,j+1}\cdot(j+1) fi,j=fi,j+fi−1,j+1⋅(j+1)权值和：有 j + 1 j+1 j+1 种方案，每一种方案要加上 a i a_i ai 乘上方案数。
g i , j = g i , j + ( j + 1 ) ( g i − 1 , j + 1 + f i − 1 , j + 1 ⋅ a i ) g_{i,j}=g_{i,j}+(j+1)(g_{i-1,j+1}+f_{i-1,j+1}\cdot a_i) gi,j=gi,j+(j+1)(gi−1,j+1+fi−1,j+1⋅ai) -
选了当前狗，是 R R R
方案数：加上上一个。
f i , j = f i , j + f i − 1 , j − 1 f_{i,j}=f_{i,j}+f_{i-1,j-1} fi,j=fi,j+fi−1,j−1权值和：加上 a i a_i ai 乘上方案数。
g i , j = g i , j + g i − 1 , j − 1 + f i − 1 , j − 1 ⋅ a i g_{i,j}=g_{i,j}+g_{i-1,j-1}+f_{i-1,j-1}\cdot a_{i} gi,j=gi,j+gi−1,j−1+fi−1,j−1⋅ai
至此，我们已经求出每一行列的情况。（行列本质是一样的）
一行（列）求出权值和在答案的出现次数是其他行列的方案数之积。（易证）
时间复杂度 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)
代码如下
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=998244353;
int n,a[501][501],cnt,c[510];
char d[510][510],b[510];
ll f[501][501],g[501][501],ans;
pair<ll,ll> num[1001];
pair<ll,ll> calc(char b[],int a[])
{
int n=strlen(b+1);
memset(f,0,sizeof(f));
memset(g,0,sizeof(g));
f[0][0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=0;j<=n;j++){
(f[i][j]+=f[i-1][j])%=mod;
(g[i][j]+=g[i-1][j])%=mod;
if(b[i]=='L'||b[i]=='U'){
(f[i][j-1]+=f[i-1][j]*(j))%=mod;
(g[i][j-1]+=g[i-1][j]*(j)+f[i-1][j]*a[i]%mod*(j))%=mod;
}
else{
(f[i][j+1]+=f[i-1][j])%=mod;
(g[i][j+1]+=g[i-1][j]+f[i-1][j]*a[i])%=mod;
}
}
}
return make_pair(f[n][0],g[n][0]);
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",d[i]+1);
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
scanf("%d",&a[i][j]);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
memset(b,0,sizeof(b));
int t=0;
for(int j=1;j<=n;j++){
if(d[i][j]=='L'||d[i][j]=='R'){
b[++t]=d[i][j];
c[t]=a[i][j];
}
}
if(t) num[++cnt]=calc(b,c);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
memset(b,0,sizeof(b));
int t=0;
for(int j=1;j<=n;j++){
if(d[j][i]=='U'||d[j][i]=='D'){
b[++t]=d[j][i];
c[t]=a[j][i];
}
}
if(t) num[++cnt]=calc(b,c);
}
for(int i=1;i<=cnt;i++){
ll x=num[i].second;
for(int j=1;j<=cnt;j++) if(i!=j) x=x*num[j].first%mod;
ans=(ans+x)%mod;
}
cout<<ans;
}