今天是动态规划的最后一篇内容了，本篇主要是针对回文字符串这种"与众不同"的递推规律来进行讲解
647. 回文子串
统计并返回这个字符串中 回文子串 的数目
暴力解法
两层for循环，遍历区间起始位置和终止位置，然后还需要一层遍历判断这个区间是不是回文。所以时间复杂度：O(n^3)
动态规划
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
如果大家做了很多这种子序列相关的题目，在定义dp数组的时候 很自然就会想题目求什么，我们就如何定义dp数组。
绝大多数题目确实是这样，不过本题如果我们定义，dp[i] 为 下标i结尾的字符串有 dp[i]个回文串的话，我们会发现很难找到递归关系。dp[i] 和 dp[i-1] ，dp[i + 1] 看上去都没啥关系。所以我们要看回文串的性质。
我们在判断字符串S是否是回文，那么如果我们知道 s[1]，s[2]，s[3] 这个子串是回文的，那么只需要比较 s[0]和s[4]这两个元素是否相同，如果相同的话，这个字符串s 就是回文串。那么此时我们是不是能找到一种递归关系，也就是判断一个子字符串（字符串下标范围[i,j]）是否回文，依赖于，子字符串（下标范围[i + 1, j - 1]）） 是否是回文。
所以为了明确这种递归关系，我们的dp数组是要定义成二维dp数组。dp[i][j]（布尔类型）：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。
- 确定递推公式（这个地方要和遍历顺序一起理解，递推公式对于解题非常重要）
在确定递推公式时，就要分析如下几种情况。整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。
当s[i]与s[j]不相等，那没啥好说的了，dp[i][j]一定是false。
当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况
- 情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
- 情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串
- 情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。
- dp数组如何初始化
dp[i][j]初始化为false。
- 确定遍历顺序
遍历顺序可就有点讲究了。
首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。
总而言之，一个道理，都是为了保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。
- 举例推导dp数组
举例，输入："aaa"，dp[i][j]状态如下：
python
class Solution:
def countSubstrings(self, s: str) -> int:
dp = [[False] * len(s) for _ in range(len(s))]
result = 0
for i in range(len(s)-1, -1, -1): #注意遍历顺序
for j in range(i, len(s)):
if s[i] == s[j]:
if j - i <= 1: #情况一 和 情况二
result += 1
dp[i][j] = True
elif dp[i+1][j-1]: #情况三
result += 1
dp[i][j] = True
return result双指针法
回文子串的对称中心有两种情况：
- 奇数长度的回文子串（如 "aba"）：中心是单个字符（示例中的 "b"）。
- 偶数长度的回文子串（如 "abba"）：中心是两个相邻字符（示例中的 "bb"）。
中心扩展法的逻辑是：
- 枚举字符串中每个可能的中心（单个字符或相邻两个字符）。
- 从中心向两侧扩展，判断扩展后的子串是否为回文。
- 每扩展成功一次，就计数一个回文子串。
python
class Solution:
def countSubstrings(self, s: str) -> int:
result = 0
for i in range(len(s)):
result += self.extend(s, i, i, len(s)) #以i为中心
result += self.extend(s, i, i+1, len(s)) #以i和i+1为中心
return result
def extend(self, s, i, j, n):
res = 0
while i >= 0 and j < n and s[i] == s[j]:
i -= 1
j += 1
res += 1
return res516.最长回文子序列
这种回文子序列可以删除元素是很难想的，因为规律不是很直观。本题和上题的区别在于：回文子串是要连续的，回文子序列可不是连续的！
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。
- 确定递推公式
在判断回文子串的题目中，关键逻辑就是看s[i]与s[j]是否相同。
如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子序列的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
- dp数组如何初始化
当i与j相同，那么dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。其他情况dp[i][j]初始为0就行
- 确定遍历顺序
从递归公式中，可以看出，dp[i][j] 依赖于 dp[i + 1][j - 1] ，dp[i + 1][j] 和 dp[i][j - 1]，所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，这样才能保证下一行的数据是经过计算的。
- 遍历模拟
python
class Solution:
def longestPalindromeSubseq(self, s: str) -> int:
dp = [[0] * len(s) for _ in range(len(s))]
for i in range(len(s)):
dp[i][i] = 1
for i in range(len(s)-1, -1, -1):
for j in range(i+1, len(s)):
if s[i] == s[j]:
dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2
else:
dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1])
return dp[0][-1]动态规划总结篇
-
动态规划基础（初步感受递推的关系）
-
背包问题系列（递推二维到一维的理解）
-
打家劫舍系列（线性递推顺序的延伸）
-
股票系列（dp数组和数据输出的巧妙设置）*
-
子序列系列（理解模拟遍历的重要性）