重点记忆法
a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 ax2+bx+c=0
整体可以由: 根 ⟹ \Longrightarrow ⟹ △ △ △ ⟹ \Longrightarrow ⟹ 求根公式 x 1 , 2 x_{1,2} x1,2= − b ± △ 2 a \frac{-b±\sqrt{△}}{2a} 2a−b±△ ⟹ \Longrightarrow ⟹ 韦达定理 ⟹ \Longrightarrow ⟹ 判断两根符号情况 ,即根多少 由 △ △ △判断,根 需要求根公式 ,求根公式 可推导韦达定理 ,韦达定理 可判断两根符号情况。
1.根
⟹ \Longrightarrow ⟹ 根的多少 : △ △ △>0,方程有两根, x 1 , 2 x_{1,2} x1,2= − b ± △ 2 a \frac{-b±\sqrt{△}}{2a} 2a−b±△ ,抛物线与x轴有两个交点 ; △ △ △=0,方程有一根, x x x为 − b 2 a -\frac{b}{2a} −2ab,抛物线与x轴有一个交点; △ △ △<0,方程无根,抛物线与x轴没有交点;
⟹ \Longrightarrow ⟹ 根的正负 :两正根( △ ≥ 0 , x 1 + x 2 > 0 , x 1 x 2 > 0 △≥0,x_1+x_2>0,x_1x_2>0 △≥0,x1+x2>0,x1x2>0);两负根( △ ≥ 0 , x 1 + x 2 < 0 , x 1 x 2 > 0 △≥0,x_1+x_2<0,x_1x_2>0 △≥0,x1+x2<0,x1x2>0);异号根( x 1 x 2 < 0 x_1x_2<0 x1x2<0)
⟹ \Longrightarrow ⟹ 根的区间 :看顶点(横坐标相当于看对称轴,纵坐标相当于看 △ △ △)、看端点(根所分布区问的端点)。
⟹ \Longrightarrow ⟹ 根与系数关系 : x 1 + x 2 = − b a x_1+x_2=-\frac{b}{a} x1+x2=−ab, x 1 ⋅ x 2 = c a x_1·x_2=\frac{c}{a} x1⋅x2=ac。
2.△ △ △判别式
⟹ \Longrightarrow ⟹ b 2 − 4 a c b^2-4ac b2−4ac
⟹ \Longrightarrow ⟹ △ △ △>0,方程有两根, x 1 , 2 x_{1,2} x1,2= − b ± △ 2 a \frac{-b±\sqrt{△}}{2a} 2a−b±△ ,抛物线与x轴有两个交点
⟹ \Longrightarrow ⟹ △ △ △=0,方程有一根, x x x为 − b 2 a -\frac{b}{2a} −2ab,抛物线与x轴有一个交点
⟹ \Longrightarrow ⟹ △ △ △<0,方程无根,抛物线与x轴没有交点
⟹ \Longrightarrow ⟹ y y y的最值为 4 a c − b 2 4 a \frac{4ac-b^2}{4a} 4a4ac−b2 = -△ 4 a \frac{-△}{4a} 4a-△
⟹ \Longrightarrow ⟹ 弦长公式为 △ ∣ a ∣ \frac{\sqrt{△}}{|a|} ∣a∣△
⟹ \Longrightarrow ⟹ 顶点△面积为 ( △ ) 3 8 a 2 \frac{(\sqrt{△})^3}{8a^2} 8a2(△ )3
3.求根公式
x 1 , 2 x_{1,2} x1,2= − b ± △ 2 a \frac{-b±\sqrt{△}}{2a} 2a−b±△
⟹ \Longrightarrow ⟹ 韦达定理为 x 1 + x 2 = − b + △ 2 a + − b − △ 2 a = − b a x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{△}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}=-\frac{b}{a} x1+x2=2a−b+△ +2a−b−△ =−ab
⟹ \Longrightarrow ⟹ 韦达定理为 x 1 ⋅ x 2 = − b + b 2 − 4 a c 2 a ∗ − b − b 2 − 4 a c 2 a = c a x_1·x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}*\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{c}{a} x1⋅x2=2a−b+b2−4ac ∗2a−b−b2−4ac =ac
⟹ \Longrightarrow ⟹ 弦长公式为 ∣ x 1 − x 2 ∣ = ∣ − b + △ 2 a − − b − △ 2 a ∣ = △ ∣ a ∣ |x_1-x_2|=|\frac{-b+\sqrt{△}}{2a}-\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}|=\frac{\sqrt{△}}{|a|} ∣x1−x2∣=∣2a−b+△ −2a−b−△ ∣=∣a∣△
⟹ \Longrightarrow ⟹ 顶点△面积为 1 2 ⋅ ∣ y ∣ ⋅ ∣ x 1 − x 2 ∣ = ∣ -△ 4 a ∣ ∗ △ ∣ a ∣ = ( △ ) 3 8 a 2 \frac{1}{2}·|y|·|x_1-x_2|=|\frac{-△}{4a}|*\frac{\sqrt{△}}{|a|}=\frac{(\sqrt{△})^3}{8a^2} 21⋅∣y∣⋅∣x1−x2∣=∣4a-△∣∗∣a∣△ =8a2(△ )3
4.韦达定理 : x 1 + x 2 = − b a x_1+x_2=-\frac{b}{a} x1+x2=−ab, x 1 ⋅ x 2 = c a x_1·x_2=\frac{c}{a} x1⋅x2=ac, ∣ x 1 − x 2 ∣ = b 2 − 4 a c ∣ a ∣ |x_1-x_2|=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|} ∣x1−x2∣=∣a∣b2−4ac
⟹ \Longrightarrow ⟹ 求出关于两个根的对称轮换式的数值
⟹ \Longrightarrow ⟹ 判断两根符号情况
⟹ \Longrightarrow ⟹ 一元三次方程 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ax^3+bx^2+cx+d=0 ax3+bx2+cx+d=0的韦达定理: x 1 + x 2 + x 3 = − b a x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a} x1+x2+x3=−ab, x 1 x 2 x 3 = − d a x_1x_2x_3=-\frac{d}{a} x1x2x3=−ad, x 1 x 3 + x 2 x 3 + x 1 x 3 = c a x_1x_3+x_2x_3+x_1x_3=\frac{c}{a} x1x3+x2x3+x1x3=ac
⟹ \Longrightarrow ⟹
理解记忆法
求根公式推导
https://www.bilibili.com/read/cv4538376/
韦达定理、弦长公式、顶点△面积推导
韦达定理由求根公式推导而来
x 1 , 2 x_{1,2} x1,2= − b ± △ 2 a \frac{-b±\sqrt{△}}{2a} 2a−b±△
⟹ \Longrightarrow ⟹ 韦达定理为 x 1 + x 2 = − b + △ 2 a + − b − △ 2 a = − b a x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{△}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}=-\frac{b}{a} x1+x2=2a−b+△ +2a−b−△ =−ab
⟹ \Longrightarrow ⟹ 韦达定理为 x 1 ⋅ x 2 = − b + b 2 − 4 a c 2 a ∗ − b − b 2 − 4 a c 2 a = c a x_1·x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}*\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{c}{a} x1⋅x2=2a−b+b2−4ac ∗2a−b−b2−4ac =ac
⟹ \Longrightarrow ⟹ 弦长公式为 ∣ x 1 − x 2 ∣ = ∣ − b + △ 2 a − − b − △ 2 a ∣ = △ ∣ a ∣ |x_1-x_2|=|\frac{-b+\sqrt{△}}{2a}-\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}|=\frac{\sqrt{△}}{|a|} ∣x1−x2∣=∣2a−b+△ −2a−b−△ ∣=∣a∣△
⟹ \Longrightarrow ⟹ 顶点△面积为 1 2 ⋅ ∣ y ∣ ⋅ ∣ x 1 − x 2 ∣ = ∣ -△ 4 a ∣ ∗ △ ∣ a ∣ = ( △ ) 3 8 a 2 \frac{1}{2}·|y|·|x_1-x_2|=|\frac{-△}{4a}|*\frac{\sqrt{△}}{|a|}=\frac{(\sqrt{△})^3}{8a^2} 21⋅∣y∣⋅∣x1−x2∣=∣4a-△∣∗∣a∣△ =8a2(△ )3
or
由韦达定理的结论和完全平方公式可推出:
∣ x 1 − x 2 ∣ = ( x 1 + x 2 ) 2 − 4 x 1 x 2 = b 2 − 4 a c ∣ a ∣ |x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|} ∣x1−x2∣=(x1+x2)2−4x1x2 =∣a∣b2−4ac = △ ∣ a ∣ =\frac{\sqrt{△}}{|a|} =∣a∣△
根的区间之理解
区问根问题,常使用 " 两点式 " 解题法,即看顶点(横坐标相当于看对称轴,纵坐标相当于看 △ △ △)、看端点(根所分布区问的端点)。
为了讨论方便,只讨论 a > 0 a>0 a>0的情况,考试时,若a的符号不定,则需要讨论开口方向。
归类记忆法
根的分布问题:正负根问题和区间根问题