学习记忆——数学篇——案例——代数——方程——一元二次方程

重点记忆法

a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 ax2+bx+c=0

整体可以由：根 ⟹ \Longrightarrow ⟹ △ △ △ ⟹ \Longrightarrow ⟹ 求根公式 x 1 , 2 x_{1,2} x1,2= − b ± △ 2 a \frac{-b±\sqrt{△}}{2a} 2a−b±△ ⟹ \Longrightarrow ⟹ 韦达定理 ⟹ \Longrightarrow ⟹ 判断两根符号情况 ，即根多少 由 △ △ △判断，根需要求根公式 ，求根公式 可推导韦达定理 ，韦达定理 可判断两根符号情况。

1.根
⟹ \Longrightarrow ⟹ 根的多少 ： △ △ △＞0，方程有两根， x 1 , 2 x_{1,2} x1,2= − b ± △ 2 a \frac{-b±\sqrt{△}}{2a} 2a−b±△ ，抛物线与x轴有两个交点； △ △ △＝0，方程有一根， x x x为 − b 2 a -\frac{b}{2a} −2ab，抛物线与x轴有一个交点； △ △ △＜0，方程无根，抛物线与x轴没有交点；
⟹ \Longrightarrow ⟹ 根的正负 ：两正根（ △ ≥ 0 , x 1 + x 2 ＞ 0 , x 1 x 2 ＞ 0 △≥0,x_1+x_2＞0,x_1x_2＞0 △≥0,x1+x2＞0,x1x2＞0）；两负根（ △ ≥ 0 , x 1 + x 2 ＜ 0 , x 1 x 2 ＞ 0 △≥0,x_1+x_2＜0,x_1x_2＞0 △≥0,x1+x2＜0,x1x2＞0）；异号根（ x 1 x 2 ＜ 0 x_1x_2＜0 x1x2＜0）
⟹ \Longrightarrow ⟹ 根的区间 ：看顶点（横坐标相当于看对称轴，纵坐标相当于看 △ △ △）、看端点（根所分布区问的端点）。
⟹ \Longrightarrow ⟹ 根与系数关系 ： x 1 + x 2 = − b a x_1+x_2=-\frac{b}{a} x1+x2=−ab， x 1 ⋅ x 2 = c a x_1·x_2=\frac{c}{a} x1⋅x2=ac。

2.△ △ △判别式
⟹ \Longrightarrow ⟹ b 2 − 4 a c b^2-4ac b2−4ac
⟹ \Longrightarrow ⟹ △ △ △＞0，方程有两根， x 1 , 2 x_{1,2} x1,2= − b ± △ 2 a \frac{-b±\sqrt{△}}{2a} 2a−b±△ ，抛物线与x轴有两个交点
⟹ \Longrightarrow ⟹ △ △ △＝0，方程有一根， x x x为 − b 2 a -\frac{b}{2a} −2ab，抛物线与x轴有一个交点
⟹ \Longrightarrow ⟹ △ △ △＜0，方程无根，抛物线与x轴没有交点
⟹ \Longrightarrow ⟹ y y y的最值为 4 a c − b 2 4 a \frac{4ac-b^2}{4a} 4a4ac−b2 ＝－△ 4 a \frac{－△}{4a} 4a－△
⟹ \Longrightarrow ⟹ 弦长公式为 △ ∣ a ∣ \frac{\sqrt{△}}{|a|} ∣a∣△
⟹ \Longrightarrow ⟹ 顶点△面积为 ( △ ) 3 8 a 2 \frac{(\sqrt{△})^3}{8a^2} 8a2(△ )3

3.求根公式
x 1 , 2 x_{1,2} x1,2= − b ± △ 2 a \frac{-b±\sqrt{△}}{2a} 2a−b±△
⟹ \Longrightarrow ⟹ 韦达定理为 x 1 + x 2 = − b ＋ △ 2 a ＋ − b − △ 2 a = − b a x_1+x_2=\frac{-b＋\sqrt{△}}{2a}＋\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}=-\frac{b}{a} x1+x2=2a−b＋△ ＋2a−b−△ =−ab
⟹ \Longrightarrow ⟹ 韦达定理为 x 1 ⋅ x 2 = − b ＋ b 2 − 4 a c 2 a ∗ − b − b 2 − 4 a c 2 a = c a x_1·x_2=\frac{-b＋\sqrt{b^2-4ac}}{2a}*\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{c}{a} x1⋅x2=2a−b＋b2−4ac ∗2a−b−b2−4ac =ac
⟹ \Longrightarrow ⟹ 弦长公式为 ∣ x 1 − x 2 ∣ = ∣ − b ＋ △ 2 a − − b − △ 2 a ∣ = △ ∣ a ∣ |x_1-x_2|=|\frac{-b＋\sqrt{△}}{2a}-\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}|=\frac{\sqrt{△}}{|a|} ∣x1−x2∣=∣2a−b＋△ −2a−b−△ ∣=∣a∣△
⟹ \Longrightarrow ⟹ 顶点△面积为 1 2 ⋅ ∣ y ∣ ⋅ ∣ x 1 − x 2 ∣ = ∣ －△ 4 a ∣ ∗ △ ∣ a ∣ = ( △ ) 3 8 a 2 \frac{1}{2}·|y|·|x_1-x_2|=|\frac{－△}{4a}|*\frac{\sqrt{△}}{|a|}=\frac{(\sqrt{△})^3}{8a^2} 21⋅∣y∣⋅∣x1−x2∣=∣4a－△∣∗∣a∣△ =8a2(△ )3

4.韦达定理： x 1 + x 2 = − b a x_1+x_2=-\frac{b}{a} x1+x2=−ab， x 1 ⋅ x 2 = c a x_1·x_2=\frac{c}{a} x1⋅x2=ac， ∣ x 1 − x 2 ∣ = b 2 − 4 a c ∣ a ∣ |x_1-x_2|=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|} ∣x1−x2∣=∣a∣b2−4ac
⟹ \Longrightarrow ⟹ 求出关于两个根的对称轮换式的数值
⟹ \Longrightarrow ⟹ 判断两根符号情况
⟹ \Longrightarrow ⟹ 一元三次方程 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ax^3+bx^2+cx+d=0 ax3+bx2+cx+d=0的韦达定理： x 1 + x 2 + x 3 = − b a x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a} x1+x2+x3=−ab， x 1 x 2 x 3 = − d a x_1x_2x_3=-\frac{d}{a} x1x2x3=−ad， x 1 x 3 + x 2 x 3 + x 1 x 3 = c a x_1x_3+x_2x_3+x_1x_3=\frac{c}{a} x1x3+x2x3+x1x3=ac
⟹ \Longrightarrow ⟹

理解记忆法

求根公式推导

https://www.bilibili.com/read/cv4538376/

韦达定理、弦长公式、顶点△面积推导

韦达定理由求根公式推导而来
x 1 , 2 x_{1,2} x1,2= − b ± △ 2 a \frac{-b±\sqrt{△}}{2a} 2a−b±△
⟹ \Longrightarrow ⟹ 韦达定理为 x 1 + x 2 = − b ＋ △ 2 a ＋ − b − △ 2 a = − b a x_1+x_2=\frac{-b＋\sqrt{△}}{2a}＋\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}=-\frac{b}{a} x1+x2=2a−b＋△ ＋2a−b−△ =−ab
⟹ \Longrightarrow ⟹ 韦达定理为 x 1 ⋅ x 2 = − b ＋ b 2 − 4 a c 2 a ∗ − b − b 2 − 4 a c 2 a = c a x_1·x_2=\frac{-b＋\sqrt{b^2-4ac}}{2a}*\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{c}{a} x1⋅x2=2a−b＋b2−4ac ∗2a−b−b2−4ac =ac
⟹ \Longrightarrow ⟹ 弦长公式为 ∣ x 1 − x 2 ∣ = ∣ − b ＋ △ 2 a − − b − △ 2 a ∣ = △ ∣ a ∣ |x_1-x_2|=|\frac{-b＋\sqrt{△}}{2a}-\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}|=\frac{\sqrt{△}}{|a|} ∣x1−x2∣=∣2a−b＋△ −2a−b−△ ∣=∣a∣△
⟹ \Longrightarrow ⟹ 顶点△面积为 1 2 ⋅ ∣ y ∣ ⋅ ∣ x 1 − x 2 ∣ = ∣ －△ 4 a ∣ ∗ △ ∣ a ∣ = ( △ ) 3 8 a 2 \frac{1}{2}·|y|·|x_1-x_2|=|\frac{－△}{4a}|*\frac{\sqrt{△}}{|a|}=\frac{(\sqrt{△})^3}{8a^2} 21⋅∣y∣⋅∣x1−x2∣=∣4a－△∣∗∣a∣△ =8a2(△ )3

由韦达定理的结论和完全平方公式可推出：
∣ x 1 − x 2 ∣ = ( x 1 + x 2 ) 2 − 4 x 1 x 2 = b 2 − 4 a c ∣ a ∣ |x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|} ∣x1−x2∣=(x1+x2)2−4x1x2 =∣a∣b2−4ac = △ ∣ a ∣ =\frac{\sqrt{△}}{|a|} =∣a∣△