DP34 【模板】前缀和
题目描述：
给定一个长度为n的数组. 接下来有q次查询, 每次查询有两个参数l, r. 对于每个询问, 请输出
输入描述:
第一行包含两个整数n和q.第二行包含n个整数, 表示.接下来q行,每行包含两个整数 l和r.
输出描述:
输出q行,每行代表一次查询的结果.
示例1
输入
3 2
1 2 4
1 2
2 3
输出
3
6
解题思路：
我们可以可以通过暴力的解法去解决这个问题，但是这样时间复杂度会比较高，达到O（n*q）
我们可以对暴力解法进行优化：
我们以【1,4,7,2,5,8,3,6,9】这个数组来讲解前缀和（快速求出数组中某个连续区间的元素和）这个算法
index为数组下标，至于为什么下标从一开始后面会讲！！！
我们提前弄一个前缀和数组dp，这个数组的元素dp【i】代表【1，i】区间内所有元素之和
我们在求dp的时候肯定不可以用暴力解法，不然的话时间复杂度又上去了，
dp【i】代表 【1，i】区间内所有元素之和，那dp【i-1】代表 【1，i-1】区间内所有元素之和
- dp【i】就可以等于dp【i-1】+arr【i】
那我们再来看看题目，题目要求我们输出从l到r区间内所有元素之和
那我们可以直接输出dp【r】-dp【l-1】
- 这里我们把下标设为1开始，是因为我们的dp在算的时候会用到i-1的位置，如果i从0开始就会出现越界的情况
解题代码：
cpp
#include <iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int main() {
int n,q;
cin>>n>>q;
vector<int> arr(n+1);
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>arr[i];
vector<long long> dp(n+1);
for(int i=1;i<=n;i++) dp[i]=dp[i-1]+arr[i];
while(q--)
{
int l,r;
cin>>l>>r;
cout<<dp[r]-dp[l-1]<<endl;
}
return 0;
}
// 64 位输出请用 printf("%lld")DP35 【模板】二维前缀和
题目描述：
请输出以 (x1, y1) 为左上角 , (x2,y2) 为右下角的子矩阵的和，
输入描述：
第一行包含三个整数n,m,q.
接下来n行，每行m个整数，代表矩阵的元素
接下来q行，每行4个整数x1, y1, x2, y2，分别代表这次查询的参数
解题思路：
首先如果我们使用暴力解法时间复杂度，直接就是O(n*m*q），我们可以对其使用前缀和算法优化
我们可以创建一个（n+1）*（m+1）的的数组arr和（n+1）*（m+1）的的前缀和数组dp
- 这里数组坐标加一也是为了防止越界的情况
dp【i】【j】代表从（1,1）~（i，j）这个区间内所有元素之和
我们如何快速求出dp【i】【j】的值呢？以下面这个数组为例，假设我们要求的是dp【3】【3】
我们先来观察一个通用图：我们要求多少A+B+C+D之和
A+B+C+D=（A+B）+（A+C）+D-A，括号内的是一个整体
我们可以结合下标的关系推导进一步的关系
A+B+C+D=（A+B）+（A+C）+D-A
=dp【i-1】【j】+dp【i】【j-1】+arr【i】【j】-dp【i-1】【j-1】
这样我们就求出来了dp的每一个数了，回到题目上，题目要求我们输出（x1,y1)~(x2,y2)这个区间内的所有元素之和，假设让我们输出是是这个区间
- D=（A+B+C+D）-（A+B）-（A+C）+A
D=（A+B+C+D）-（A+B）-（A+C）+A
= dp【x2】【y2】-dp【x1-1】【y2】-dp【x2】【y1-1】+dp【x1-1】【y1-1】
为了防止越界，我们开辟数组也要多开一行一列
解题代码：
cpp
#include <iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int main() {
int n,m,q;
cin>>n>>m>>q;
int arr[n+1][m+1];
long long dp[n+1][m+1];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=m;j++)
{
cin>>arr[i][j];
dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]+arr[i][j]-dp[i-1][j-1];
}
}
while(q--)
{
int x1,x2,y1,y2;
cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
cout<<dp[x2][y2]-dp[x1-1][y2]-dp[x2][y1-1]+dp[x1-1][y1-1]<<endl;
}
return 0;
}
// 64 位输出请用 printf("%lld")