文章目录
- 引言
- 一、二次型的基本概念及其标准型
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- [1.2 基本定理](#1.2 基本定理)
- [1.3 二次型标准化方法](#1.3 二次型标准化方法)
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- [1. 配方法](#1. 配方法)
- [2. 正交变换法](#2. 正交变换法)
- 写在最后
引言
了解了关于二次型的基本概念以及梳理了矩阵三大关系后，我们继续往后学习二次型的内容。
一、二次型的基本概念及其标准型
1.2 基本定理
定理 1 ------ （标准型定理）任何二次型 X T A X \pmb{X}^T\pmb{AX} XTAX 总可以经过可逆的线性变换 X = P Y \pmb{X=PY} X=PY ，即 P \pmb{P} P 为可逆矩阵，把二次型 f ( X ) f(\pmb{X}) f(X) 化为标准型，即 f ( X ) = Y T ( P T A P ) Y = l 1 y 1 2 + l 2 y 2 2 + ⋯ + l m y m 2 , f(\pmb{X})=\pmb{Y}^T(\pmb{P}^T\pmb{AP})\pmb{Y}=l_1y_1^2+l_2y_2^2+\cdots+l_my_m^2, f(X)=YT(PTAP)Y=l1y12+l2y22+⋯+lmym2, 其中 m m m 为标准型中非零系数的个数。
定理 2 ------ （惯性定理）二次型的标准型的系数中，正、负系数的个数保持不变，分别称为二次型的正、负惯性指数。
定理 3 ------ （矩阵合同定理）设 A , B \pmb{A,B} A,B 为 n n n 阶实对称矩阵，则 A ≃ B \pmb{A\simeq B} A≃B 的充分必要条件是 A , B \pmb{A,B} A,B 的特征值中正、负及零的个数相同。
从这个角度也可以理解昨天那篇文章中，为什么实对称矩阵相似一定合同。因为相似的话特征值都一样了，自然正、负及零的个数相同；反之，合同的话，只是个数相同，不能推出特征值相同。
定理 4 ------ 对二次型 f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = X T A X ( A T = A ) f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\pmb{X^TAX(A^T=A)} f(x1,x2,⋯,xn)=XTAX(AT=A) ，一定存在正交矩阵 Q \pmb{Q} Q ，使得经可逆线性变换 X = Q Y \pmb{X=QY} X=QY 后，有 X T A X = Y T ( Q T A Q ) Y = λ 1 y 1 2 + λ 2 y 2 2 + ⋯ + λ n y n 2 , \pmb{X^TAX=Y^T(Q^TAQ)Y}=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2, XTAX=YT(QTAQ)Y=λ1y12+λ2y22+⋯+λnyn2, 其中， λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n λ1,λ2,⋯,λn 为矩阵 A \pmb{A} A 的特征值。
1.3 二次型标准化方法
1. 配方法
即通过配方的方法，把二次型化为若干部分的平方和与差，然后进行变换的方法。
如：设 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 2 + 2 x 2 2 − 5 x 3 2 − 2 x 1 x 2 + 2 x 2 x 3 = X T A X f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2-5x_3^2-2x_1x_2+2x_2x_3=\pmb{X^TAX} f(x1,x2,x3)=x12+2x22−5x32−2x1x2+2x2x3=XTAX ，其中 A = [ 1 − 1 0 − 1 2 1 0 1 − 5 ] , X = [ x 1 x 2 x 3 ] \pmb{A}=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0\\ -1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & -5 \end{bmatrix},\pmb{X}=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} A= 1−10−12101−5 ,X= x1x2x3 ，配方得 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 2 + 2 x 2 2 − 5 x 3 2 − 2 x 1 x 2 + 2 x 2 x 3 = ( x 1 − x 2 ) 2 + ( x 2 − x 3 ) 2 − 6 x 3 2 , f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2-5x_3^2-2x_1x_2+2x_2x_3=(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2-6x_3^2, f(x1,x2,x3)=x12+2x22−5x32−2x1x2+2x2x3=(x1−x2)2+(x2−x3)2−6x32, 令 x 1 − x 2 = y 1 , x 2 − x 3 = y 2 , x 3 = y 3 x_1-x_2=y_1,x_2-x_3=y_2,x_3=y_3 x1−x2=y1,x2−x3=y2,x3=y3 ，即有 x 1 = y 1 + y 2 − y 3 , x 2 = y 2 − y 3 , x 3 = y 3 x_1=y_1+y_2-y_3,x_2=y_2-y_3,x_3=y_3 x1=y1+y2−y3,x2=y2−y3,x3=y3 ，用矩阵形式表达，即 X = P Y \pmb{X=PY} X=PY ，其中 P = [ 1 1 − 1 0 1 − 1 0 0 1 ] , Y = [ y 1 y 2 y 3 ] \pmb{P}=\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},\pmb{Y}=\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} P= 100110−1−11 ,Y= y1y2y3 。作可逆线性变换 X = P Y \pmb{X=PY} X=PY ，使得 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = y 1 2 + y 2 2 − 6 y 3 2 . f(x_1,x_2,x_3)=y_1^2+y_2^2-6y_3^2. f(x1,x2,x3)=y12+y22−6y32.
2. 正交变换法
即利用定理 4 ，把二次型标准化。其基本步骤如下：
（1）由特征方程 ∣ λ E − A ∣ = 0 |\lambda \pmb{E-A}|=0 ∣λE−A∣=0 ，求出矩阵 A \pmb{A} A 的特征值 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n λ1,λ2,⋯,λn ；
（2）求出方程组 ( λ i E − A ) X = 0 ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) (\lambda_i\pmb{E-A})\pmb{X}=\pmb{0}(i=1,2,\cdots,n) (λiE−A)X=0(i=1,2,⋯,n)（重特征值只代一次）的基础解系，从而获得矩阵 A \pmb{A} A 的线性无关的特征向量 ξ 1 , ξ 2 , ⋯ , ξ n \pmb{\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n} ξ1,ξ2,⋯,ξn ；
（3）将 ξ 1 , ξ 2 , ⋯ , ξ n \pmb{\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n} ξ1,ξ2,⋯,ξn 进行施密特正交化（只在重特征值对应的线性无关的特征向量内部进行）和规范化，得到矩阵 A \pmb{A} A 的两两正交规范的特征向量 γ 1 , γ 2 , ⋯ , γ n \pmb{\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n} γ1,γ2,⋯,γn ；
（4）令 Q = ( γ 1 , γ 2 , ⋯ , γ n ) \pmb{Q}=(\pmb{\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n}) Q=(γ1,γ2,⋯,γn) ，则 Q \pmb{Q} Q 为正交矩阵，且 Q T A Q = [ λ 1 ⋱ λ n ] \pmb{Q^TAQ}=\begin{bmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{bmatrix} QTAQ= λ1⋱λn ；
（5）作正交变换 X = Q Y \pmb{X=QY} X=QY ，则 f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = X T A X ⟹ Y T ( Q T A Q ) Y = λ 1 y 1 2 + λ 2 y 2 2 + ⋯ + λ n y n 2 f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\pmb{X^TAX\Longrightarrow Y^T(Q^TAQ)Y}=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2 f(x1,x2,⋯,xn)=XTAX⟹YT(QTAQ)Y=λ1y12+λ2y22+⋯+λnyn2
1，采用正交变换法化标准型时，标准型的系数一定为矩阵 A \pmb{A} A 的特征值。配方法则不一定，但是系数中正、负系数的个数是唯一的。
2，二次型的规范型是唯一的。
3，正交变换不改变向量的长度，即 Q \pmb{Q} Q 为正交矩阵，且向量 X , Y \pmb{X,Y} X,Y 满足 X = Q Y \pmb{X=QY} X=QY ，则有 ∣ X ∣ = ∣ Y ∣ |\pmb{X}|=|\pmb{Y}| ∣X∣=∣Y∣ 。因为 ∣ X ∣ 2 = X T X = ( Q Y ) T Q Y = Y T ( Q Q ) Y = Y T Y = ∣ Y ∣ 2 |\pmb{X}|^2=\pmb{X}^T\pmb{X}=(\pmb{QY})^T\pmb{QY}=\pmb{Y}^T(\pmb{Q}\pmb{Q)\pmb{Y}}=\pmb{Y}^T\pmb{Y}=|\pmb{Y}|^2 ∣X∣2=XTX=(QY)TQY=YT(QQ)Y=YTY=∣Y∣2 ， ∣ X ∣ , ∣ Y ∣ > 0 \pmb{|X|,|Y|}>0 ∣X∣,∣Y∣>0 ，故 ∣ X ∣ = ∣ Y ∣ |\pmb{X}|=|\pmb{Y}| ∣X∣=∣Y∣ 。
写在最后
先到这吧，慢慢来，做点题目巩固下。下一篇文章我们来学习关于正定矩阵的内容。