快速幂求逆元

思路

题意：

给出两个整数 a , p a,p a,p，其中 p p p 是质数，求出一个整数 b b b，使得 a ∗ b = 1 ( m o d p ) a~*~b~=~1(mod~p) a ∗ b = 1(mod p) 成立（即求 a a a 模 p p p 的乘法逆元）。

首先我们需要记住费马小定理 ：若 p p p 为质数且 a m o d p ! = 0 a~mod~p~!=~0 a mod p != 0，那么式子 a p − 1 = 1 ( m o d p ) a^{p-1}~=~1(mod~p) ap−1 = 1(mod p) 成立。

我们可以把这个式子转化为 p ∗ a p − 2 = 1 ( m o d p ) p~*~a^{p-2}~=~1(mod~p) p ∗ ap−2 = 1(mod p)。

那么易知：

当 a m o d p ! = 0 a~mod~p~!=~0 a mod p != 0 时，需要求的乘法逆元 b b b 的值等于 a p − 2 a^{p-2} ap−2；当 a m o d p = 0 a~mod~p~=~0 a mod p = 0 时，乘法逆元不存在。

C o d e Code Code

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define sz(a) ((int)a.size())
#define all(a) a.begin(), a.end()
using namespace std;
using PII = pair<int, int>;
using i128 = __int128;
const int N = 2e5 + 10;

int qpow(int a, int b, int p) {
	int res = 1;
	while (b) {
		if (b & 1) {
			res = res * a % p;
		}
		a = a * a % p;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}

signed main() {
	int a, p;
	cin >> a >> p;
	if (p >= 2 && a % p) {
		cout << qpow(a, p - 2, p) << "\n";
	} else {
		cout << "impossible\n";
	}
	return 0;
}